10.4--二项式定理(1)

第十章排列、组合、二项式定理和概率10.4二项式定理考点搜索●二项式定理，二项展开式及其通项公式●二项式系数及其性质高考猜想1.利用通项公式解决二项展开式中的项与系数问题.2.利用二项式定理求近似值、求余数、证明不等式等.1.对于n∈N*，(a+b)n=①_______________________，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(a+b)n的②___________.2.二项展开式中各项的系数(r=0，1，2，…，n)叫做③___________；二项展开式的第r+1项叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，Tr+1=④____________________.3.与首末两端⑤_______的两个二项式系数相等.rnC01-1-1-1nnnnnnnnnnCaCabCabCb二项展开式二项式系数-(0,1,2,)rnrrnCabrn等距离4.二项式系数的前半部分是⑥______，后半部分是⑦______，且在中间取得⑧______.5.当n为偶数时，二项展开式的项数为奇数，正中间一项的二项式系数是⑨____；当n为奇数时，二项展开式的项数为偶数，正中间两项的二项式系数是⑩_______.6.____；____(所有偶数项的二项式系数之和等于所有奇数项的二项式系数之和).012nnnnnCCCC1211024135nnnnnnCCCCCC递增的递减的最大值2nnC-1122nnnnCC和2n2n-1盘点指南:①；②二项展开式；③二项式系数；④；⑤等距离;⑥递增的；⑦递减的；⑧最大值；⑨;⑩和；2n；2n-101-1-1-1nnnnnnnnnnCaCabCabCb-(0,1,2,)rnrrnCabrn2nnC12-1122nnnnCC11的展开式中的常数项是()A.14B.-14C.42D.-42解：设的展开式中的第r+1项为，当，即r=6时，它为常数项，所以常数项为.A371(2-)xx371(2-)xx-3(7-)37-7-21771(2)(-)2(-1)rrrrrrrrrTCxCxx-3(7-)02rr6617(-1)214C已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|等于()A.29B.49C.39D.1解：x的奇数次方的系数都是负值，所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9.所以已知条件中只需令x=-1即可.故选B.B已知的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是____.解：因为的展开式中各项系数和为128，所以令x=1，即得所有项系数和为2n=128，所以n=7.设该二项展开式中的第r+1项为，令,即r=3时，x5项的系数为=35.35-1332()nxx-1332()nxx63-1156r-163-1137-362177()()rrrrrrTCxxCx37C1.如果在的展开式中,前三项系数成等差数列,求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，,由题意得,解得n=8.题型1求二项展开式中的项第一课时41()2nxx(-1),28nnn(-1)2128nnn设第r+1项为有理项，，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.所以展开式中的有理项为T1=x4，.点评：熟记二项展开式的通项公式是求指定项的基础，求解过程中注意项的符号、系数、字母、字母指数四个方面.16-341812rrrrTCx592351,8256TxTx已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14∶3，求展开式中的常数项.解:依题意有=14∶3,化简得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或n=-5(不符合题意,舍去).设该展开式中第r+1项为所求的项，则.令,得r=2.故展开式中的常数项为第三项,且.拓展练习拓展练习21()3nxx42:nnCC10-10-52--2211010(3)3rrrrrrrTCxxCx10-502r2-231035TC2.(1)求(1+2x-x2)(1-x)10的展开式中x4的系数.(2)求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)15的展开式中x3的系数.解：(1)因为(1-x)10展开式中x4，x3，x2的系数分别为，所以展开式中合并同类项后x4的系数是.题型2求二项展开式中指定项的系数432101010,-,CCC432101010-2--75CCC(2)原式=.因为(1+x)16的二项展开式中x4的系数是=1820，所以原式的展开式中x3的系数是1820.点评:多个二项式运算结果中的指定项的系数求解问题,涉及到多个项的搭配,在配凑过程中,一是注意不要遗漏某些对应项,如第(1)问中的第一个式子中的常数项、一次项、二次项分别对应第二个式子中的四次项、三次项、二次项;二是注意一些公式的转化变形;如第(2)问中的多个求和式子可利用求和公式将其转化.1516(1)(1)-1(1)1--1(1)-1xxxxxx416C求的展开式中的常数项.解法1：.得到常数项的情况有：①三个括号中全取-2，得(-2)3；②一个括号中取|x|，一个括号中取,一个括号中取-2，得，所以展开式中的常数项为(-2)3+(-12)=-20.拓展练习拓展练习31(||-2)||xx31111(||-2)(||-2)(||-2)(||-2)||||||||xxxxxxxx1||x1132(-2)-12CC解法2：.设第r+1项为常数项，则令6-2r=0，得r=3.所以展开式中常数项为.3611(||-2)(||-)||||xxxx6-166-261(-1)()(||)||(-1)(||),rrrrrrrrTCxxCx3346(-1)-20TC3.(1)求(1-3x)8的展开式中各项系数的绝对值之和.(2)求(1+2x)12·(2-x)8的展开式中x的奇次幂的系数之和.解:(1)设(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.其中a0,a2,a4,a6,a8＞0,a1,a3,a5,a7＜0.取x=-1，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|=a0-a1+a2-a3+…+a8=(1+3)8=48.题型3求展开式中的系数和(2)因为(1+2x)12·(2-x)8的展开式中x的最高次幂为20,从而可设(1+2x)12·(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a20x20.取x=1,则a0+a1+a2+…+a20=312.①取x=-1,则a0-a1+a2-…+a20=38.②①-②,得a1+a3+a5+…+a19=312-382=40×38.故展开式中x的奇次幂的系数之和为40×38.点评:求展开式中的系数和问题,一般采用赋值法:即把式子看成某字母的函数,再结合所求系数式子的特点,分别令字母取一些常数0,1,-1等,便可求得系数和.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a8=_____.解：令x=1，则a0+a1+a2+…+a8=2+22+…+28=510.令x=0，则a0=8，所以a1+a2+…+a8=502.拓展练习拓展练习502(1)已知(1+2x)6的展开式中第2项大于它的相邻两项，求x的取值范围；(2)已知(1+x+mx2)10的展开式中x4的系数大于-330，求m的取值范围.参考题参考题题型求二项式中参数的取值范围解：(1)因为，由已知，所以，即，解得，所以x的取值范围是().0116261,2,TCTCx22236(2)60TCxx112(5-1)0xxx11125x11,1252123TTTT21211260xxx(2)因为.由此可知,上式中只有第三、四、五项的展开式中含有x4项,其系数分别为：.由已知,＞-330.化简整理,得m2+8m+120,即(m+2)(m+6)0.所以m＞-2或m＜-6,故m的取值范围是(-∞，-6)∪(-2，+∞).10210(1)1(1)xmxxmx1222333101010444101010101(1)(1)(1)(1)(1)CxmxCxmxCxmxCxmxLCxmx223241010310,,CmCCmC223241010310CmCCmC1.展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数，解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析.2.二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念.一般地，某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与a、b的取值有关，而二项式系数与a、b的取值无关.3.有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式求解，结合方程思想进行求值，通过解不等式求取值范围.4.求展开式中的系数和，一般通过对a、b适当赋值来求解；对求非二项式的展开式系数和，可先确定其展开式中的最高次数，按多项式形式设出其展开式，再赋值求系数和.