二项式定理-(1)

(1)(a+b)(a+b)＝C20a2+C21ab+C22b2=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b32)ba（222aabb3)(ba322333aababb(a+b)4＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？问题：1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)．各项前的系数代表着什么？3)．你能分析说明各项前的系数吗？a4a3ba2b2ab3b4各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的次数a4a3ba2b2ab3b4都不取b取一个b取两个b取三个b取四个b项系数C40C41C42C43C44(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)4＝C40a4＋C41a3b＋C42a2b2＋C43ab3＋C44b43)．你能分析说明各项前的系数吗？发现规律：对于（a+b）n=个n)ba()ba)(ba(的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个括号中取b(其余括号中取a)的组合数.那么，我们能不能写出(a+b)n的展开式？rnC将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？归纳提高引出定理，总结特征011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb二项展开式定理:一般地，对于nN*，有：011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的，其中（r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，该项是指展开式的第项，展开式共有_____个项.rnC展开式二项式系数rrnrnbaCr+1n+11(0,1,2,)rnrrrnTCnabr2.二项式系数规律：nnnnnCCCC、、、、2103.指数规律：（1）各项的次数和均为n；（2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0，第二项b的次数由0逐次升到n.1.项数规律：展开式共有n+1个项)(Nn011()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb二项展开式定理:特别地:2、令a=1，b=x1、把b用-b代替(a-b)n=Cnan-Cnan-1b+…+(-1)rCnan-rbr+…+(-1)nCnbn01rnn)11(n2nnnrrnnnnxCxCxCxCx22111）（01CCCnnnn3、)(Nn011()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb二项展开式定理:411)1x：展开（＋例注：1）注意对二项式定理的灵活应用.2）注意区别二项式系数与项的系数的概念二项式系数为；项的系数为：二项式系数与数字系数的积rnC解:41223344411111)1()()()CCCxxxx（[phone]()1.Cxxxxx61()6223xx：展开，并求第项的二项式系数和第例项的系数.解:6631(2)1)xxxx1=(261524336663)(2)(2)(2)xCxCxCxx1=[(24256666(2)(2)]CxCxC32236012164192240160xxxxxx=第三项的二项式系数为2615C第六项的系数为5562(1)12C(2)nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)(1.二项式定理：(n∈N*)。特点：①二项展开式共有n+1项；②二项展开式按a的降幂和b的升幂排列，且各项中a和b的指数和都等于n；③二项展开式各项的系数依次为nnnnnnCCCCC、、、、、32102.二项展开式的通项：11rnrrrnTCabr第项3.二项式系数：是指二项展开式中各项的组合数，即：rnC二项展开式系数：是指二项展开式中各项的系数二项式系数一定为正，项的系数可正，可负。11nnabrbar的第项与的第项不同7)3x:(1)求（1+2的展开式的第例4项的系数931)xxx(2)求（的展开式中的系数和中间项解:37333317(1)1(2)280TCxx第四项系数为2809921991(2)()(1)rrrrrrrTCxCxx339923,84rxC3由得r=3.故的系数为(-1)4944419595551915,6,()70170()TCxxxTCxxx中间一项是第项(2)：由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？1003)23(x例4(1)：试判断在的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.8312xx解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：882443188311122rrrrrrrrxTCCxx由题意可知，244063rr故存在常数项且为第7项，常数项86660781172TCx常数项即项.0x例4(1)：试判断在的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.8312xx100,,.236,0100.0,6,12,,96,17.rrTrr均为整数时为有理数为的倍数且即r为展开式中共有项有理项解：的展开式的通项公式为：1003)23(x10010010033211001003232rrrrrrrrTCxCx012100r，，，，点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要求也高.有理项即整数次幂项(2)：由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？1003)23(x练习：1、求的展开式常数项93()3xx1999219931()()()333rrrrrrrrrxTCCxx06.rr1由9-r-得26966791()322683TC解:2、求的展开式的中间项93()3xx解:展开式共有10项,中间两项是第5、6项4944354193()()423xTTCxx35955265193()()423xTTCxx102313132553xxx。求的1第项的二项式系数2第项的系数3中间项4倒数第项5求含的项85x24。求1+x+x的展开式中的系数55721035253342031024211211111xxyzxxxxxxxxxxxxpxxp232变形求1+2x-3x的展开式中的系数变形求的展开式中yz项的系数变形求的展开式中的系数变形求的展开式中的系数变形求的的系数变形的展开式中的系数最小，求课堂小结：①二项式定理是初中多项式乘法的延伸，又是后继学习概率的基础，要理解和掌握好展开式的规律，利用它对二项式展开，进行相应的计算与证明；②要注意“系数”、“二项式系数”等概念的区别与联系，对二项式展开式的特征要分析清楚，灵活正用、逆用展开式.