9.1直线的方程与两直线的位置关系zhixiandefc

理解直线的倾斜角和斜率的概念；掌握过两点的直线的斜率公式．2．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式；了解斜截式与一次函数的关系．3．能根据条件熟练地求出直线的方程．4．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．5．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．能利用直线方程判定两条直线的位置关系．6．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲的复习，应在准确把握直线的倾斜角、斜率及斜率公式的基础上，掌握不同形式的直线方程的推导，并对它们进行辨析，进而达到掌握这些直线方程的目的．在2011年高考中，北京卷第8题、浙江卷第12题、安徽卷第17题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)求直线的方程；(2)两条直线位置关系；(3)有关距离问题.直线的倾斜角和斜率(1)直线与x轴相交时直线________的方向与x轴的________形成的角叫直线l的倾斜角，记为α，直线与x轴平行或重合时倾斜角为________；倾斜角的范围为________．(2)斜率：当倾斜角α≠90°时，________表示直线的斜率，常用k表示，即k＝________.当α＝90°时，斜率不存在，当直线l过A(x1，y1)、B(x2，y2)且x1≠x2时，k＝________.向上正方向0°[0°，180°)tanαtanαy1－y2x1－x2．直线的方向向量：当直线的斜率为k时，其方向向量的坐标可记为________．(1，k)．直线方程的三种形式(1)点斜式：______________.特例：y＝kx＋b表示_______________且斜率为k的直线，该直线方程叫直线方程的斜截式．(2)两点式：_____________.特例：xa＋yb＝1，其中a、b表示直线在_________________，且a、b不为0该方程叫直线方程的截距式．(3)一般式：______________(A2＋B2≠0)．y－y1＝k(x－x1)在y轴上截距为by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1x、y轴上的截距Ax＋By＋C＝0．若直线l1和l2的斜率分别为k1、k2，(1)l1∥l2⇔________；(2)l1⊥l2⇔__________.5．点到直线的距离公式(1)点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝_______________.(2)两平行线Ax＋By＋C1＝0和Ax＋By＋C2＝0的距离为d＝________.k1＝k2k1k2＝－1|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2直线的倾斜角(1)倾斜角的两个定义①在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时规定直线的倾斜角为0°.②直线的倾斜角的另一定义：直线斜向上方向与x轴正方向所成的最小正角为直线倾斜角．规定：当直线与y轴垂直时倾斜角为0°.这两个定义的实质完全相同．用辽大教辅考名牌大学(2)倾斜角的取值范围由定义，可得倾斜角的范围是0°≤α＜180°.(3)学习直线倾斜角应注意以下几点：①直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是对于与x轴相交的直线，第二种是直线与x轴平行或重合．这样使平面内任何直线都有唯一的倾斜角．②当直线与x轴相交时直线的倾斜角的定义是由运动的观点定义的．(注意“逆时针”、“最小”、“正角”三个条件．)③直线倾斜角直观地描述了直线的倾斜程度，不同的直线可以有相同的倾斜角．．直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即k＝tanα.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线，其斜率也不同，我们常用斜率来表示倾斜角不等于90°的直线对于x轴的倾斜程度．学习直线的斜率应注意以下几点：(1)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．(2)当倾斜角是90°时直线斜率不存在，并不是该直线不存在，此时直线与x轴垂直．用辽大教辅考名牌大学(3)直线的倾斜角α与k间的关系如下表：直线情况平行于x轴由左向右上升垂直于x轴由右向左上升α大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范围0(0，＋∞)不存在(－∞，0)k的增减性单调递增单调递增直线的斜率公式在坐标平面内，如果已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，那么直线P1P2就是确定的，当直线P1P2的倾斜角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1.用辽大教辅考名牌大学关于直线的斜率公式应用要注意以下几点：(1)直线l的斜率公式中的两点P1，P2是直线l上的任意两点．(2)斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可以同时颠倒．(3)若x1＝x2时，k＝y2－y1x2－x1无意义，此时直线的倾斜角为90°，无斜率．．直线的方向向量直线上的向量P1P2→及与它平行的向量都称为直线的方向向量．若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量P1P2→的坐标是(x2－x1，y2－y1)．当直线P1P2与x轴不垂直时，x1≠x2.此时，向量1x2－x1P1P2→也是直线P1P2的方向向量，且它的坐标是1x2－x1(x2－x1，y2－y1)，即(1，k)，其中k是直线P1P2的斜率.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1](1)已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的两倍，则直线l的斜率是________．(2)若A(－2,3)，B(3，－2)，C(12，m)三点共线，则m的值为()A.12B．－12C．－2D．2用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)因为A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB＝－2＋53＋1＝34.若设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ＝34.这时直线l的倾斜角为2θ，其斜率为tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×341－342＝247.(2)由kAB＝kBC，即－2－33＋2＝m＋212－3，得m＝12，选A.用辽大教辅考名牌大学【点评】本题第(1)问属于斜率和三角函数的简单综合题，关键是熟练掌握斜率公式及正切的二倍角公式．第(2)问因为直线AB与BC的倾斜角相同且过同一点B，所以由kAB＝kBC求m.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．【答案】(－2，－1)【解析】∵直线的斜率k＝a－1a＋2，且直线的倾斜角为钝角，∴a－1a＋2＜0，解得－2＜a＜1.直线方程的几种形式(如下表)：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式y－y1＝k(x－x1)(x1，y1)是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式y＝kx＋bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1，y1)、(x2，y2)是直线上的两定点不垂直于x轴和y轴＋yb＝1a是直线在x轴上非零截距，b是直线在y轴上非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)斜率为－AB，在x轴上截距为－CA，在y轴上截距为－CB任何位置的直线求直线方程的一般方法(1)直接法：直接选用直线方程的某种形式，写出形式适当的直线方程．(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，方程中含有一待定系数，再由题设给的另一条件求出待定系数，最后将求得的系数代入所设方程，即得所求直线方程．步骤可归纳为设方程，求系数，代入．．一般地，直线方程的几种形式可以相互转化，如无特殊要求，直线方程形式应写成一般式或斜截式．4．直线与二元一次方程的关系(1)任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程．(2)任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2]过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时l的方程；(2)|PA|·|PB|最小时l的方程．用辽大教辅考名牌大学【解析】设直线l的方程为y－1＝k(x－2)．令x＝0，得B(0,1－2k)．令y＝0，得A(2－1k，0)，且知k＜0.用辽大教辅考名牌大学(1)S△AOB＝12(1－2k)(2－1k)＝12[4＋(－4k)＋(－1k)]≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－1k，即k＝－12时取最小值．故l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.用辽大教辅考名牌大学(2)|PA|·|PB|＝1k2＋1·4＋4k2＝21k2＋k2＋2≥4.取最小值时k＝－1.故l的方程为x＋y－3＝0.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习2]求下列直线方程：(1)直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程．(2)直线l经过点P(3,2)且与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积最小时求直线l的方程．用辽大教辅考名牌大学【答案】(1)解法一：设直线l的方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，∴A(a,0)，B(0，b)，∴ab＝24，3a＋2b＝1.解得a＝6，b＝4.∴所求直线方程为：x6＋y4＝1，即2x＋3y－12＝0.用辽大教辅考名牌大学解法二：设直线l的方程为：y－2＝k(x－3)．令y＝0，得直线l在x轴上的截距a＝3－2k，令x＝0，得直线l在y轴上的截距b＝2－3k.∴(3－2k)(2－3k)＝24，解得k＝－23.∴所求直线方程为y－2＝－23(x－3)．即2x＋3y－12＝0.用辽大教辅考名牌大学(2)设直线l的方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，∵直线l经过点P(3,2)，∴3a＋2b＝1.∵a＞0，b＞0，∴3a＞0，2b＞0.