7.1不等式的基本性质

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．会用比较法比较两个实数的大小．3．理解不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲的复习，要抓住基本概念和性质，熟练掌握性质的变形和运用，不断提升思维深度和广度．在2011年高考中，陕西卷第3题、浙江卷第6题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)不等式性质的理解与运用；(2)作差法比较实数的大小，b的大小比较：a－b＞0⇔________；a－b＝0⇔________；a－b＜0⇔________.a＞ba＝ba＜b．不等式的性质：(1)性质1：a＞b⇔________(对称性)．(2)性质2：a＞b，b＞c⇒________(传递性)．(3)性质3：a＞b⇒___________(可加性)．a＋b＞c⇒a＞c－________(移项法则)．(4)性质4：a＞b，c＞0⇒________.a＞b，c＜0⇒________.(可乘性)(5)性质5：a＞b，c＞d⇒____________(加法法则)．(6)性质6：a＞b＞0，c＞d＞0⇒________(乘法法则)．(7)性质7：a＞b＞0，n∈N且n≥2⇒________(乘方法则)．(8)性质8：a＞b＞0，n∈N且n≥2⇒________(开方法则)．b＜aa＞ca＋c＞b＋cbac＞bcac＜bca＋c＞b＋dac＞bdan＞bnna＞nb＞b⇔1a＜1b成立吗？【答案】不成立．只有当a，b同号时才成立.“不等关系”和“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”表示，不等式则是表示不等关系的式子．对于实际问题中的不等关系可以从“不超过”、“不少于”、“至少”、“至多”等关键词上去把握，并要考虑其实际意义．．“a≥b”是指“a＞b或a＝b”，它等价于“a不小于b”，在a＞b和a＝b中只要有一个成立，a≥b就成立．例如：2≥2,3≥2等都是正确的命题．同理，“a≤b”是指“a＜b或a＝b”，它等价于“a不大于b”，在a＜b和a＝b中只要有一个成立，a≤b就成立．．实数比较大小利用比较两个实数大小的法则可以比较两个实数或代数式的大小，这类问题的方法一般有两种：作差法和作商法．(1)作差法：基本原理是将两个实数的大小比较，转化为判断这两个数的差的正负，即a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b.用辽大教辅考名牌大学(2)作商法：基本原理是将两个同号的实数的大小比较转化为这两个数的商与1的大小比较，即①当b＞0时，ab＞1⇔a＞b；②当b＜0时，ab＞1⇔a＜b.(3)其中作差法的主要步骤是：①作差：有的可直接作差，有的需转化才可作差；②变形：目的是判断差的符号，通常进行因式分解、配方、分子(分母)有理化等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号；③判断：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b等；④得出结论.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1]若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；【分析】采用作差法或作商法比较大小．用辽大教辅考名牌大学【解析】根据题目的结构特点，可考虑用作差法．(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，∴－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．【点评】作差法的关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的判断.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]若a≥1，试比较M＝a＋1－a和N＝a－a－1的大小．【答案】M－N＝(a＋1－a)－(a－a－1)＝1a＋1＋a－1a＋a－1＝a－1－a＋1a＋1＋aa＋a－1＜0.故M＜N.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2]设a＞0，且a≠1，t＞0，比较12logat与logat＋12的大小.【分析】比较两个对数的大小，通常作差，利用对数性质，将真数变换为二数之比，再与1进行比较．这里底数的情况不明，应分类讨论．用辽大教辅考名牌大学【解析】∵logat＋12－12logat＝logat＋12t，又t＞0，由不等式性质t＋1≥2t，∴t＋12t≥1.用辽大教辅考名牌大学①当0＜a＜1时，logat＋12t≤loga1＝0，∴logat＋12≤12logat；②当a＞1时，logat＋12t≥loga1＝0，∴logat＋12≥12logat.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习2]设a＞0，b＞0，且a≠b.试比较aabb与abba的大小．用辽大教辅考名牌大学【解析】根据同底数幂的运算法则可考虑用比值比较法．aabbabba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b当a＞b＞0时，ab＞1，a－b＞0，则(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba；当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b＜0，则(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.故当a＞0，b＞0，a≠b时，都有aabb＞abba.对于不等式的性质，不仅要了解性质的内容，还要掌握不等式性质是如何证明的．要深入理解不等式的性质．特别要注意有些性质的逆命题成立；有些性质的逆命题不成立；有些不等式性质成立的条件是充分必要的，有些不等式性质成立的条件是充分不必要的．．对于不等式的8条性质．(1)关于性质2，要正确处理带等号的情况：由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可推得出a＞c；而a≥b，b≥c不一定可以推得a≥c.可能是a＞c，也可能是a≥c.应当这样理解，有了a≥b，b≥c，可能有a＞c，也可能有a＝c.只有当a＝b且b＝c时，才会有a＝c.(2)性质5是同向不等式可以相加．可以推出异向不等式可以相减：a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d一般地，两个异向不等式可以相减，其“差不等式”的不等号与被减式一致．用辽大教辅考名牌大学(3)性质4中，研究乘数c的符号是关键．例如c≠0时，c2＞0，可以由a＞b得ac2＞bc2.如果是已知c∈R，由a＞b可以得到ac2≥bc2.由性质4不可以推出常用且易错的结论：当ab＞0时，a＞b⇔1a＜1b.本结论中，要注意ab＞0的条件：若a＞b，a＞0，b＜0则1a＞1b；不要将ab＞0强化为a＞0且b＞0.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例3]对于实数a、b、c，判断下列命题的真假．(1)若a＞b，则ac＜bc；(2)若a＞b，则ac2＞bc2；(3)若ac2＞bc2，则a＞b；(4)若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；(5)若a＜b＜0，则1a＜1b；(6)若a＜b＜0，则ba＞ab.用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)因c的正负或是否为零未知，无法判断ac与bc的大小，所以是假命题；(2)因c2≥0，所以c＝0时，有ac2＝bc2，故为假命题；(3)由ac2＞bc2，知c≠0，c2＞0，所以为真命题；(4)由a＜b，a＜0，⇒a2＞ab，又a＜b，b＜0，⇒ab＞b2，所以为真命题；(5)例如：－3＜－2＜0，但－13＞－12，所以为假命题．用辽大教辅考名牌大学(6)因a＜b＜0⇒－a＞－b＞01a＞1b⇒－a＞－b＞0－1b＞－1a＞0⇒ab＞ba.所以为假命题.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习3]当0＜a＜b＜1时，下列不等式正确的是()A．(1－a)1b＞(1－a)bB．(1＋a)a＞(1＋b)bC．(1－a)b＞(1－a)b2D．(1－a)a＞(1－b)b用辽大教辅考名牌大学【答案】D【解析】∵0＜a＜b＜1，∴0＜1－a＜1，∴y＝(1－a)x为减函数．又∵1b＞b＞b2＞0，故A、C排除．由(1＋a)a＜(1＋b)a＜(1＋b)b知B也不正确．∵a＜b，∴(1－a)a＞(1－b)b，故选D.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例4]若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．用辽大教辅考名牌大学【解析】解法1：利用解方程的思想：∵f(x)＝ax2＋bx，∴f1＝a＋b.f－1＝a－b.∴a＝12[f1＋f－1]，b＝12[f1－f－1].∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，∴6≤f(－2)≤10.：待定系数法：设m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，∴m＋n＝4，m－n＝－2.∴m＝1，n＝3.∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，∴6≤f(－2)≤10.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习4]已知f(x)＝kx＋b(k≠0)，1≤f(1)≤2,2≤f(2)≤3，求f(3)的取值范围．【答案】由f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，得k＝f(2)－f(1)，b＝2f(1)－f(2)，∴f(3)＝3k＋b＝2f(2)－f(1)．又2≤f(2)≤3,1≤f(1)≤2，∴2≤f(3)≤5.用辽大教辅考名牌大学考场实录【例】已知－1≤a＋b≤1①，1≤a－2b≤3②，求a＋3b的取值范围．【错解】用辽大教辅考名牌大学正解【正解】设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得：λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a＋b)≤53－2≤－23(a－2b)≤－23∴－113≤a＋3b≤1.【错因分析】如上解法会扩大所求代数式的取值范围，导致范围的不准确，而正确的取值范围应为它的子集.用辽大教辅考名牌大学学习本讲知识还需注意：1.不等式两端同乘一个正数时，不等号方向不变，同乘一个负数不等号改变方向，若同乘一个符号不确定的数时，要讨论．2.判断不等式是否成立，一般可