7.2一元二次不等式及其解法

通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．2．会解一元二次不等式，会解含参数的一元二次不等式．3．会解可化为一元二次不等式的高次不等式和分式不等式.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲的复习，应紧扣二次函数的图象，把握三个“二次”的关系，通过典型题目的解答，掌握解不等式的通法．在2011年高考中，辽宁卷第9题、广东卷第5题、江西卷第4题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)一元二次不等式的解法；(2)一元高次不等式及分式不等式的解法；(3)含参数不等式的解法.＋bx＋c＞0(或＜0)且a＞0，再应用以下结论写出解集：设ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1，x2(x1＜x2)，Δ＝b2－4ac，＋bx＋c＞0(a＞0)的解集为①Δ＞0时，解集为________________；②Δ＝0时，解集为________________；③Δ＜0时，解集为________．不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集为①Δ＞0时，解集为________________；②Δ＝0时，解集为________；③Δ＜0时，解集为________．{x|x＞x2或x＜x1}{x|x∈R且x≠－b2a}R{x|x1＜x＜x2}∅∅＜0时，ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的解集如何？【答案】当a＜0时，可利用不等式的性质将二次项系数化为正数，注意不等号的变化，而后求得方程两根，再利用“大于号取两边，小于号取中间”求解．．分式不等式的解法(1)如能判断分母的符号，可直接去分母，转化为整式不等式；(2)fxgx≥0⇒fx·gx≥0，；(3)用穿根法或数轴标根法.g(x)≠0含有的未知数的最高次数是二次的一元不等式叫做一元二次不等式．．一元二次不等式的解法(如下表所示)设a＞0，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，且x1＜x2.类型解集ax2＋bx＋c＞0ax2＋bx＋c≥0ax2＋bx＋c＜0ax2＋bx＋c≤0Δ＞0{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≤x1或x≥x2}{x|x1＜x＜x2}{x|x1≤x≤x2}Δ＝0{x|x≠－b2a，x∈R}R∅{x|x＝－b2a}Δ＜0RR∅∅对于一元二次不等式的解法需注意：(1)从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的点的横坐标的集合．(2)三个“二次”的关系常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三者之间有着密切的联系，这种联系点可以成为高考中的命题点．处理其中某类问题时，要善于产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析．具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系．．解一元二次不等式的方法：(1)图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集．(2)公式法步骤：①先化成标准型：ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，且a＞0；②计算对应方程的判别式△；③求对应方程的根；④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集．．解带参数的不等式(x－a)(x－b)＞0，应讨论a与b的大小再确定不等式的解．解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．6．一元一次、二次不等式是解不等式的基础，其它的不等式(分式不等式、高次不等式、无理不等式及指数、对数不等式)可以根据不等式的性质转化为一元一次、一元二次不等式(组)求解，因此需熟练掌握.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1]已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为0＜α＜x＜β，求不等式cx2＋bx＋a＞0的解集．【分析】按一般思路，应先求出方程cx2－bx＋a＝0的两根x1与x2，而x1、x2的值与a、b、c有联系，所以可以用a，b，c将方程ax2＋bx＋c＝0的根α、β与x1、x2联系起来．用辽大教辅考名牌大学【解析】因不等式ax2＋bx＋c＞0的解为0＜α＜x＜β，所以a＜0，且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为α、β.所以α＋β＝－ba＞0，α·β＝ca＞0，所以ca＞0，ba＜0，又a＜0，所以c＜0.＋x2＝－bc＝－baca＝α＋βα·β＝1β＋1α；x1·x2＝ac＝1ca＝1α·β＝1α·1β.用辽大教辅考名牌大学∴方程cx2＋bx＋a＝0的两根为1α，1β.∵0＜α＜β，∴1α＞1β＞0，∴不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为{x|1β＜x＜1α}．用辽大教辅考名牌大学【点评】本题从一元二次不等式解区间的端点值就是相应二次方程的根入手，结合韦达定理，用系数a，b，c将两个方程的根联系起来，使问题解决．一般地，欲解一元二次不等式，应首先求出相应方程的根(△≥0时)，然后据二次项的系数与不等号的方向确定解集.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]若关于x的不等式－12x2＋2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则实数m的值为________．【答案】1【解析】由原不等式得x2＋(2m－4)x＜0，又0＜x＜2时，有x(x－2)＜0，即x2－2x＜0，比较系数得2m－4＝－2，即2m＝2，故m＝1.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2]解关于x的不等式：ax2－2x＋1＞0.【分析】从不等式的形式结构看，可以是一元一次不等式，也可以是一元二次不等式，其中为二次不等式时，又要考虑“开口方向”和“判别式的正负”问题，注意到△＝4－4a，可以从中找到讨论点是“a＝0”和“a＝1”．用辽大教辅考名牌大学【解析】①当a＝0时，不等式即－2x＋1＞0，∴解集为{x|x＜12}；用辽大教辅考名牌大学②当a＜0时，△＝4－4a＞0，此时不等式为x2－2ax＋1a＜0，由于方程x2－2ax＋1a＝0的两根分别为1－1－aa、1＋1－aa，且1－1－aa＞1＋1－aa，∴不等式的解集为：{x|1＋1－aa＜x＜1－1－aa}；用辽大教辅考名牌大学③当a＞0时，若0＜a＜1，此时不等式即x2－2ax＋1a＞0，∵1－1－aa＜1＋1－aa，∴不等式解集为{x|x＜1－1－aa，或x＞1＋1－aa}，若a＝1，则不等式为(x－1)2＞0，∴不等式解集为{x∈R|x≠1}；若a＞1，则△＜0，不等式解集为R.用辽大教辅考名牌大学【点评】当含有参数的一元二次不等式对应的二次方程有两个不同的根时，判断谁大谁小，要考虑参数的作用.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习2]解关于x的不等式a2x2－2ax＋1－b2＜0(a≠0，b＞0)．用辽大教辅考名牌大学【答案】原不等式可化为(ax－1＋b)(ax－1－b)＜0，∵a≠0，a2＞0，∴(x－1－ba)(x－1＋ba)＜0，且1－b＜1＋b，∴①若a＜0，则1－ba＞1＋ba，此时不等式的解集为{x|1＋ba＜x＜1－ba}；②若a＞0，则1－ba＜1＋ba，此时不等式的解集为{x|1－ba＜x＜1＋ba}.用辽大教辅考名牌大学知识点二一般分式不等式的解法：考点归纳1.一般分式不等式的解集：x－ax－b≥0(a＜b)的解集为：{x|x≤a或x＞b}；x－ax－b≤0(a＜b)的解集为：{x|a≤x＜b}．．一般分式不等式的解法步骤：(1)整理成标准型fxgx＞0(或＜0)或fxgx≥0(或≤0)．(2)化成整式不等式来解：①fxgx＞0⇔f(x)·g(x)＞0②fxgx＜0⇔f(x)·g(x)＜0③fxgx≥0⇔fx·gx≥0gx≠0④fxgx≤0⇔fx·gx≤0gx≠0(3)再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集．．一元高次不等式的解法解一元高次不等式最好的方法是用数轴标根法(或称穿针引线法)．先将一元高次不等式化为标准形式：一端为0，一端在实数范围内分解成一次因式或二次因式的积，将恒不为0的二次因式在不等式两边约去，将原不等式化为f(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＞0(或＜0)的形式，求出f(x)＝0的n个根x1，x2，…，xn并标在数轴上，然后从右至左，自上而下依次穿过几个根对应的点，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过，画一条连续曲线则在数轴上方的曲线对应的区间为f(x)＞0的解集，在数轴下方的曲线对应的区间为f(x)＜0的解集．．解高次不等式与分式不等式需注意(1)根据多项式理论，每个一元多项式都可以分解为一些一次、二次因式的乘积，其中二次因式恒正或恒负，因此高次不等式都可转化为一些一次因式的乘积的不等式，然后采用穿根法完成．(2)有些高次不等式因式分解后，可能会出现重因式，由于奇次重因式的符号与一次因式的符号一致，因此奇次重因式可以直接改写为一次因式；如果是偶次重因式，则分偶次重因式等于0和大于0两种情形讨论．(3)大部分分式不等式转化为整式不等式后，实际上就是转化成了高次不等式，用高次不等式的解法求解即可．用辽大教辅考名牌大学(4)对于右边不为零的分式不等式的求解，一般是通过移项使右边变为0，然后采用以上方法求解，切忌将左边的分母不讨论符号直接乘到右边，进行去分母．．用数轴标根法解高次不等式，最右区的符号由最高次项系数的正负决定，若为正数，则最右区的符号为正；若为负数，则最右区的符号为负，然后从右向左f(x)的正负符号区相间出现.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例3]解不等式x－232x＋52x－3x＋12x＋52x－1＞0.【分析】分子或分母上有因式(ax＋b)2k或(ax＋b)2k＋1(k∈N)的情况，通常做如下处理：①去掉(ax＋b)2k；②视x可能取－ba而注上x≠－ba或x＝－ba；③解化简后的不等式，并在解中去掉－ba或添上－b