数列通项公式及前n项和

掌握等差数列、等比数列的求和公式．2．掌握一般数列求和的几种方法．3．会求简单数列的前n项和.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲的复习，应充分理解公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项法、分组求和法的适用范围，能根据数列的特征正确选用数列的求和方法．在2011年高考中，安徽卷第7题、新课标全国卷第17题、辽宁卷第17题、山东卷第20题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)错位相减法求和；(2)裂项法求和；(3)分组求和法求数列的和.常用的数列求和方法有：________、________、________、________、___________等．公式法错位相减法倒序相加法裂项法分组求和法用辽大教辅考名牌大学感悟探究使用裂项法求和时需注意什么？【答案】使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．．公式法中常用求和公式有：k＝1nk＝1＋2＋3＋…＋n＝________.k＝1n(2k－1)＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝________.k＝1nk2＝12＋22＋32＋…＋n2＝______________.nn＋12n216n(n＋1)(2n＋1)项和公式．等比数列的前n项和公式或其它简单数列的求和公式对目标数列求和．常用求和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d；Sn＝na1q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1；用辽大教辅考名牌大学k＝1nk＝12n(n＋1)；k＝1nk2＝16n(n＋1)(2n＋1)；k＝1nk3＝[12n(n＋1)]2.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1]设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn的值为()A．2nB．2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－2用辽大教辅考名牌大学【解析】解法1：特殊值法．由原数列知S1＝1，S2＝4.在选项中，满足S1＝1，S2＝4的只有答案D.解法2：看通项an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝22n－12－1－n＝2n＋1－n－2.故选D.用辽大教辅考名牌大学【点评】解法1对解答复杂的选择题有简化计算的作用，解法2利用通项an求Sn为求和的通法.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]数列{an}的通项an＝n2－n，求前n项和Sn.【答案】Sn＝(12－1)＋(22－2)＋…＋(n2－n)＝(12＋22＋…＋n2)－(1＋2＋…＋n)＝nn＋12n＋16－nn＋12＝nn＋1n－13.项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．．用乘公比错位相减法求和时，应注意．(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件．如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在高考中经常考查.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2]求和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠1)．【分析】这是一个等差数列{n}与一个等比数列(x≠0时){xn－1}的对应项相乘构成的新数列，这样的数列求和可用乘q(q为等比数列的公比)的错位相减法．用辽大教辅考名牌大学【解析】∵Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①∴xSn＝x＋2x2＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，②①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝1－xn1－x－nxn(注：当x＝0时仍成立)＝1－1＋nxn＋nxn＋11－x，∴Sn＝1－1＋nxn＋nxn＋11－x2.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习2]求和Sn＝12＋34＋58＋…＋2n－12n.【答案】Sn＝3－2n＋32n.用辽大教辅考名牌大学知识点三倒序相加法求和考点归纳将一个数列倒过来排列(倒序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．等差数列的求和公式Sn＝na1＋an2就是用倒序相加法推导出来的.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例3]设f(x)＝12x＋2，求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值．用辽大教辅考名牌大学【解析】∵f(x)＝12x＋2，∴f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋121－x＋2＝12x＋2＋122x＋2＝12x＋2＋2x2＋2·2x＝2＋2x2x＋2×2＝22.＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)，则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)．∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]．∴原式＝12{[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]}＝12×12×22＝32.用辽大教辅考名牌大学【点评】对等差数列倒序相加求和时利用了an＋a1＝an－1＋a2＝…，对于f(x)＝12x＋2，由于f(x)＋f(1－x)＝22，也可产生以上效果．可见类似这种可以将若干项和转化为某项积的求和方法实际上是抓住了数列(或解析式)的特点，利用“整体”运算简化求和的一种方法.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习3]已知函数f(x)＝4x4x＋2，求f(12008)＋f(22008)＋f(32008)＋…＋f(20072008)的值．用辽大教辅考名牌大学【解析】由于f(x)＝4x4x＋2，所以f(y)＝4y4y＋2，当x＋y＝1时，有f(x)＋f(y)＝4x4x＋2＋4y4y＋2＝2×4x＋y＋24x＋4y4x＋y＋24x＋4y＋4＝8＋24x＋4y8＋24x＋4y＝1，于是f(x)＋f(y)＝1.因此，若令S＝f(12008)＋f(22008)＋f(32008)＋…＋f(20072008)，则S＝f(20072008)＋f(20062008)＋f(20052008)＋…＋f(12008)，于是2S＝2007[f(12008)＋f(20072008)]＝2007，故S＝1003.5.用辽大教辅考名牌大学知识点四分组转化法求和考点归纳有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列．若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例4]数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，数列{bn}满足：b1＝3，bn＋1＝an＋bn(n∈N*)．(1)求证：数列{an}为等比数列；(2)求数列{bn}的前n项和Tn；用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)证明：由Sn＝2an－1，n∈N*，∴Sn＋1＝2an＋1－1.两式相减得an＋1＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an，n∈N*.由a1＝1，知an≠0，∴an＋1an＝2.由定义知{an}是首项为1，公比为2的等比数列．用辽大教辅考名牌大学(2)解：an＝2n－1，bn＋1＝2n－1＋bn，∴bn＋1－bn＝2n－1.∴b2－b1＝20，b3－b2＝21，b4－b3＝22，…bn－bn－1＝2n－2，等式左右两边相加得bn＝b1＋20＋21＋…＋2n－2＝3＋1－2n－11－2＝2n－1＋2.∴Tn＝(20＋2)＋(21＋2)＋…＋(2n－1＋2)＝(20＋21＋…＋2n－1)＋2n＝2n＋2n－1.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习4]解下列各题(1)求数列32，94，258，6516，…的前n项和Sn.(2)求数列9,99,999,9999，…的前n项和Sn.用辽大教辅考名牌大学【答案】(1)将各项变形，使其呈现出某种特点，如32＝1＋12，94＝2＋14，258＝3＋18，….∴an＝n＋12n.Sn＝n2＋n2＋1－12n.(2)∵an＝10n－1，∴Sn＝10n＋1－10－9n9.用辽大教辅考名牌大学知识点五裂项相消法求和考点归纳裂项法的实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．常见的裂项公式有：(1)1nn＋1＝1n－1n＋1(2)12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)用辽大教辅考名牌大学(3)1nn＋1n＋2＝121nn＋1－1n＋1n＋2(4)1a＋b＝1a－b(a－b)(5)Cm－1n＝Cmn＋1－Cmn(6)n·n！＝(n＋1)！－n!(7)an＝Sn－Sn－1(n≥2)．(8)1nn＋k＝1k(1n－1n＋k)；(9)1n＋k＋n＝1k(n＋k－n)(n＋1)－f(n)形式，常采用裂项求和的方法．特别地，当数列形如{1anan＋1}，其中{an}是等差数列，可尝试采用此法．实质上，正负项相消是此法的根本和目的.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例5]已知数列{an}：1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…求它的前n项和．【分析】我们先看通项an＝11＋2＋3＋…＋n＝2nn＋1，然后将2nn＋1分裂成2(1n－1n＋1)，求和．用辽大教辅考名牌大学【解析】∵an＝2nn＋1＝2(1n－1n＋1)．∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)]＝2(1－1n＋1)＝2nn＋1.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习5]已