数列的疾病概念

了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．3．了解递推数列，并能根据递推公式写出数列的前几项.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲的复习，应紧扣概念，把握数列与函数的关系，多观察、多实验、敢猜想、勤归纳、勤验证．在2011年高考中，浙江卷第17题、江西卷第5题、四川卷第9题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)数列的概念；(2)数列的通项公式数列：按照________排列的一列数．2．通项公式：如果数列{an}的________与________之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．一定次序第n项序号n一个数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？【答案】不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以是an＝(－1)n或an＝－1n为奇数，1n为偶数，有的数列没有通项公式．．数列的分类：有穷数列、________；常数列、递增数列、________、________.4．Sn与an的关系：数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn与通项an的关系是an＝______________________.无穷数列递减数列摆动数列S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2时应注意什么问题？【答案】由Sn求an时，应注意公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，所以应分n＝1和n≥2两种情况分别求解，最后再检验两种情况是否能用同一个解析式表示，若不能，应将通项公式分段表示.对数列定义的理解：(1)数列的记法{an}与集合{a1，a2，…，an，…}不同，前者是借用集合符号表示数列，如数列1，12，13，…，1n，…①可记为{1n}，它表示数列①，而数列{1＋－1n2}则表示数列②，…，1＋－1n2，…②从数列②中可以看出数列中项的值可以重复，而集合中是不允许的．{a1，a2，…，an，…}表示集合，其中的元素是a1，a2，…，an，…这些数，它们是互不相等的，根据集合的意义，这些元素可以在集合中的任何一个位置，即它们在集合中是无序的，然而数列中每一个数它们的位置是固定的，因为数列中的数是按一定顺序排列而成的．如数列，1，32，2，③与数列1，12，2，32，④这两个数列虽然它们都是由同样的几个数组成，但由于它们所处的位置不同，因此这是两个不同的数列．用辽大教辅考名牌大学(2)an与{an}不同根据定义an表示数列的第n项，如a1表示第1项，an＋1表示第n＋1项，所以an也叫做数列的通项．而{an}是数列a1，a2，…，an，…的一种简写的形式．特别地，当an可以用一个解析式表示时，可以直接将这个式子写在大括号内来表示数列．所以an与{an}是数列的第n项与整个数列的关系．用辽大教辅考名牌大学(3)数列的本质是函数从数列的定义中，可以看出，在一个已知数列中，其中任一项的值，由这个项的“序号”唯一确定，也就是说数列中每个项的值是其项的序号的函数，即an＝f(n)，n∈N＋.如此看来，数列就可看做是定义在正整数集N＋或其有限真子集{1,2，…，n}上的函数，当自变量n从小到大依次取值时对应的一列函数值．这种以“函数的观点”看待数列的思想使我们有可能借助熟悉的研究函数的方法来研究数列．但是要特别注意：对数列来说，定义域不是1个或几个区间，而是正整数集N＋或某个真子集，这就是数列的个性特征．用辽大教辅考名牌大学反思数列的定义可以看出：数列最突出的特点是其项的离散性和有序性．因此，关注每个项的“下标”(项的序号)就成了研究数列的最重要的切入点．数列是一类特殊的函数，数列的有关概念应在函数的观点下加深理解，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍适用性，又要注意数列方法的特殊性．．数列的通项公式把数列{an}的第n项an用n的解析式表示出来，这种方法称为解析法．这个解析式叫做数列的通项公式，即an＝f(n)，n∈N＋.通项公式体现了数列的本质规律，它在计算或讨论数列的性质时，有独特的直接作用，因此成为人们经常使用的一种方法．如同有的函数找不到解析式一样，不是所有的数列都有通项公式．通项公式是给出数列的一种重要方法，抓住通项公式是解决数列问题的关键．．数列的通项公式的一般求法已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)负号用(－1)n或(－1)n＋1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1]写出下面数列的一个通项公式．(1)212，414，618，8116，…；(2)10,11,10,11,10,11，…；(3)－1，85，－157，249，….用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)这是个混合数列，可看成2＋12，4＋14，6＋18，8＋116，….故通项公式an＝2n＋12n.(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求an.原数列可变形为：10＋0,10＋1,10＋0,10＋1，….故其一个通项为an＝10＋1＋－1n2.(3)通项符号为(－1)n，如果把第一项－1看作－33，则分母为3,5,7,9，…，分母通项为2n＋1；分子为3,8,15,24，…，分子通项为(n＋1)2－1即n(n＋2)，所以原数列通项为an＝(－1)nn2＋2n2n＋1.用辽大教辅考名牌大学【点评】仅给出函数的前n项，其通项公式并非惟一，如(2)中通项公式可为an＝10＋|sinn－1π2|，但是，若给出数列通项公式，则数列被惟一确定.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)23，－1，107，－179，2611，－3713，…；(5)3,33,333,3333，….用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为an＝－1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.用辽大教辅考名牌大学(4)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，由第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1、2两项可改写为12＋12＋1，－22＋12·2＋1，所以an＝(－1)n＋1·n2＋12n＋1.用辽大教辅考名牌大学(5)将数列各项改写为：93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝13(10n－1).递推公式：如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．．利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种方法：(1)累加法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的差的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n－1个式子相加，整理求出数列的通项公式．(2)累积法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的商的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n－1个式子相乘，整理求出数列的通项公式．用辽大教辅考名牌大学(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解．①形如an＋1＝pan＋qa1＝a的递推公式(其中p，q，a为常数且p≠1)，可以令an＋1＋λ＝p(an＋λ)，整理得an＋1＝pan＋(p－1)λ，所以(p－1)λ＝q，即λ＝qp－1，从而an＋1＋qp－1＝p(an＋qp－1)，所以数列{an＋qp－1}是等比数列．用辽大教辅考名牌大学②形如an＋1＝anpan＋q的递推公式，两边取倒数后换元转化为1an＋1＝p＋qan，再求出1an即可.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2]已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)，求通项公式an.【分析】分析1：本题给出了{an}的递推公式，且等式两端an与an－1系数相等，故可考虑用累项相加法．分析2：本题也可利用递推公式，逐项代替等式右端出现的an－1，直至a1(叠代法)．用辽大教辅考名牌大学【解析】解法1：由a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)得a1＝1，a2＝31＋a1，a3＝32＋a2，…an－1＝3n－2＋an－2，an＝3n－1＋an－1.等式两端对应分别相加得an＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝3n－12，所以an＝3n－12.：由an＝3n－1＋an－1得an＝3n－1＋an－1＝3n－1＋3n－2＋an－2＝3n－1＋3n－2＋3n－3＋an－3＝…＝3n－1＋3n－2＋…＋32＋a2＝3n－1＋3n－2＋…＋32＋31＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋32＋31＋1＝3n－12.用辽大教辅考名牌大学【点评】解法1是抓住了等式两端an与an－1系数相等这一特点；解法2是一种常见的重要方法，它的关键是依次将an－1，an－2，…a2，a1代入