2.4.1-平面向量的数量积的

高一年级数学组向量的夹角：已知两个非零向量和，作，，abOAaOBb则∠AOB=θ(0º≤θ≤180º)叫做向量与的夹角.ababθOabAB当θ=0º时，与同向；ab当θ=180º时，与反向；ab当θ=90º时，与垂直，记作。ababababab问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。cosSFW||a||bcosba功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；平面向量的数量积的定义说明：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即cos||||bacos||||baba（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算（外积）．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．0a（1）问题3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？实数同向量积的线性运算的结果是向量两向量的数量积是一个实数，是一个数量问题4：影响数量积大小的因素有哪些？ab|a||b|cos这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。夹角的范围9009018090的正负ba正负0数量积符号由cos的符号所决定例1.已知，的夹角θ=120º，求。||5,||4abab与ab解：||||cos54cos120154()210=abab二、投影:B1OABbaA1OABbacosacosb叫做向量在方向上(向量在方向上)的投影.ba)cos(cosbaba数量积的几何意义：向量在方向上的投影是数量,不是向量,什么时候为正，什么时候为负？cosbbaOABab1BOABab)(1BBOAab1BOABbaOABba0cosb0cosb0cosbbbcosbbcoscos.abaabab数量积等于的长度与在的方向上的投影数量的乘积abBAO三、平面向量数量积的几何意义:cos||bcosbaba上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8||,4||32024练一练：由向量数量积的定义，试完成下面问题：_______.___________________.(3)||____||||.()ababababababaaabab；反；若与同向,若与向,填或(1)(2)注：常记为。aa2a||aaa0||||ab||||ab2||a≤22()||aa证明向量垂直的依据四、平面向量数量积的运算率:(1)交换律：(2)数乘结合律：(3)分配律：abba)()()(bababacbcacba)(数量积不满足结合律和消去率)()(cbacbabacbca221.aaaa2224.2abaabb222.ababab3.abcdacadbcbd平面向量数量积的重要性质:设ba、是非零向量，be是与方向相同的单位向量，ea与是的夹角，则:cos1aaeea02baba判断两个向量垂直的依据同向时与当baba|,|||反向时与当baba|,|||ba//3ba2aaaa或224aaaa求向量模的依据babacos5求向量夹角的依据baba6平面向量数量积的重要性质:00180,0（2）判断：22||,)7.)()6.,)5.0,0)4.00,0)3.0,0)2.0,0)1aaacbacbacacbbaba，bab，baaba，baba，ba都有对于任意的则若中至少一个为则若则且若都有则对于任意的若都有则对于任意的若.),00(0.000)4bababababa，ba则且若或或则若.)()6cbacba.cos||cos||)521cacbba22||)7aa1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号确定；注意：2、两个向量的数量积称为内积，写成;与代数中的数a·b不同，书写时要严格区分；ba3、在实数中,若a≠0,且a·b=0,则b=0；但在数量积中,若，且,不能推出。因为其中cosθ有可能为00ba0a0b4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc得a=c.但是有不能得cbbaca5、在实数中（a·b)c=a(b·c),但)()(cbacba例2.我们知道，对任意，恒有,abR22222()2,()().abaabbababab对任意向量是否也有下面类似的结论？,,ab22222()2;()().abaabbababab(1)(2))()(,,.babababa3260463，求的夹角为与已知例互相垂直？与向量为何值时，不共线，与且已知例bkabkakbaba,,.434谢谢大家[e-mail]15719395186