1.3《柱体、椎体、台体的表面积与体积》

1.3.1柱、锥、台体的表面积和体积高二年级理科数学卢在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积展开图平面图形面积空间问题平面问题提出问题棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h棱柱的展开图正棱柱的侧面展开图棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图h'h'侧面展开正棱锥的侧面展开图棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的展开图侧面展开h'h'正棱台的侧面展开图棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．h'h'圆柱的表面积OOr)(2222lrrrlrS圆柱表面积lr2圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr圆台的表面积)(22rllrrrS圆台表面积r2lOrO’'r'2r圆台的侧面展开图是扇环三者之间关系lOrO’'rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？r’＝r上底扩大r’＝0上底缩小001.51803.例：已知棱长为的正四棱锥各个侧面都是正三角形，求它的侧面积和表面积2.圆台的上下底面的半径分别为10,20侧面展开图的扇环的圆心角是，求圆台的表面积正四棱锥的地面为边长为4的正方形，高于斜高的夹角是30，求正四棱锥的侧面积和表面积1例：如图的圆柱，底面半径是，高为2若在A点有一只蚂蚁要围绕圆柱到B点，则爬行的最短距离是多少？AB以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：ShV（S为底面面积，h为高）．柱体体积一般棱柱体积也是：ShV其中S为底面面积，h为棱柱的高．探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．棱锥体积三棱锥与同底等高的三棱柱的关系ShV31（其中S为底面面积，h为高）经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的．即棱锥的体积：31锥体体积棱台（圆台）的体积公式hSSSSV)(31其中，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．SS台体体积柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，h为柱体高ShVSSS分别为上、下底面面积，h为台体高ShV310SS为底面面积，h为锥体高台体体积上底扩大上底缩小62.3233.24.3例：求下列几何体的体积1.底面半径为2，母线长为的圆锥正三棱锥高为，侧棱长为一个圆锥体侧面展开图是面积是的半圆已知圆台的上底面半径.下底面半径母线的比是1:2:2，且高为例2（1）已知棱长为a，各面均是等边三角形的四面体S-ABC，求它的体积和表面积；（2）已知圆锥的高为2，其侧面展开图是一个弧长为6π的扇形，求圆锥的表面积和体积；（3）将圆心角为120°，面积为3π的的扇形作为圆锥的侧面，求此圆锥的表面积和体积。例3（1）一个四棱台，其上下底面均为正方形，边长分别为8和18，侧棱长为13，求其表面积；（2）已知直角梯形的上、下底，高分别为2,4，，将直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转一周形成圆台，求这个圆台的体积和表面积。5DCBA例4如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积。CBA例5一空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积。222正视图222侧视图俯视图例6有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？3/8.7cmg解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:10)210(14.3106124322V)(29563mm)(956.23cm所以螺帽的个数为252)956.28.7(10008.5（个）答：这堆螺帽大约有252个．柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和rr0r知识小结展开图)(22rllrrrS圆台圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥柱体、锥体、台体的体积ShV31锥体hSSSSV)(31台体柱体ShV'SS0'S知识小结球的体积和表面积高二年级理科数学卢1.球的表面积球面面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍，即其中R为球的半径.24SR球343VR球2、球的体积，其中R为球的半径.练习：1．三个球的半径之比为那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的倍；1:2:32.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加倍；3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是；4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是，内切球的体积是.奎屯王新敞新疆5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．提示：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可．例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)球的体积等于圆柱体积的；23(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。奎屯王新敞新疆例2.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积.奎屯王新敞新疆CBAOO'一秋，在一阵阵的风雨后如期地来了，它带着清风的凉意，携着一团团白云，一路轻歌欢唱着，天地之间便美妙起来。我曾在雨后小院漫步的时候见过银杏的青果已经泛黄了，密密麻麻地缀在树枝上，隐在绿叶中，枝条弯了，果儿笑了。我也去到过黄果树下的凉椅上休息，见几只画眉在树枝之间飞来跃去，偶尔的几声啼叫，小院静了。我从旁边长满小草的小径中走过，听到过秋虫幽幽的鸣叫，“嘁嘁切切”，那韵律会让我想起李易安《声声慢》里的前句“凄凄惨惨戚戚”。有时候，我会抬头仰望天空。天空深蓝而高远，白云飘飘而过，风儿却轻了。我想起前些日子给孩子讲杜甫的《绝句》“窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船”的时候，我一直在思考，这诗写的是什么季节的浣花溪边呢？现在我想，应该是秋天吧，因为只有秋天才有随意的天高云淡，才能出门一眼望见西岭雪山。倘若是春天，那便只有“细雨鱼儿出，微风燕子斜”了。突然觉得生活在这个城市里好有诗意和韵律，蓉城人的生活是令人羡慕的。白天里可以去锦江边的老茶馆，尝一口今年刚上市的蒙山清明茶，听一段“散打”，或者漫步在宽窄子里，观一段“咿咿呀呀”的川剧；夜晚，可去玉林路街边的小酒馆，约上几位好友，把生活氤氲在袅袅茶香里，这日子过得如水一样的清闲与自然。二偶尔，我摸出久违的鱼竿，一个人开着车去到蓉城的农野乡下，享受这秋季里一天美好快乐的垂钓。趁着夜色朦胧起床，就像初恋的第一次约会，内心激动不已。有时候，我会把车停在乡下的山顶，看秋晨初阳东升的美妙。那时候，山色一片朦胧，四周一片静寂，只有山风轻抚身边的苇丛，“沙沙”呢喃着。黎明前的天是蓝色的，山丘也是蓝色的，它们在暗色中成了一个整体，但山际却出现了一片朝霞的红色，那一片红，把山与天分割成了两段来，天空便在头顶上一直延伸到山际，从深蓝到淡蓝。偶尔会有点点黄色的光晕，就像那蓝色的海面上突然从上空抛下一块重物，海水便出现了一个白浪的孔洞一般。山丘呢，在朝霞朦胧的光辉下，只能看见像抛物线似的线条轮廓来，山顶上种着树远远望去，就像一个个立着的怪物似的。山丘与山丘之间的沟壑，该是村庄了。那山沟里升腾起层层的雾气，像仙境一般，能听见村庄里的鸡鸣与狗吠，却看不明白村庄到底在哪里。我静静地停留在山顶上，看那远处云彩的变幻莫测，听山野之间天籁之音，就像步入一个童话与奇幻的世界。我掏出了手机，“咔咔”地记下这些画面，作为秋晨的留念。三山谷最底处是一条小河，小河清澈深不见底，远远望去，小河沿着山谷弯弯曲曲地流向远方，清晨初阳升起，阳光下，那小河像一条明亮的带子，绕缠在山谷之间。河流一面靠着山崖，一面临着田野。山崖上树林葱郁，倒映在河流里，小河水一下子变得深绿起来。河面两旁生长着密密层层的水草，有草尖带刺的丝毛，有开着淡紫色花的水葫芦，有农人讨厌的据说生命力特别强的“革命草”，也有不知名的杂草。它们杂乱无章，交错地生长在水面两边，有些向水中央延伸着，显示出特立独行的样子。微风过来了，那些无根的水葫芦脱离了“集体”，顺着水流的方向漂向了河的下游。立于河沿，我把鱼竿轻轻地抛在水草边，静静地等待着。河的下游是一片田野，农人们正在弯腰收地里的花生，孩子在田野里疯跑着嬉笑着，那脆亮的声音在山间回荡着，久久不息。看到如此的场景，我想起了自己的家乡，秋收时节也如这般的美丽和热闹。只是时过境迁，父母已经老了，兄弟姐妹也各自成家立业了，为了自己的生活东奔西走，早已远离了乡村的生活，即便回到故乡，也不复从前了。我的垂钓终于有了结果，一条白白亮亮的小鲫鱼从水底缓缓地露出了水面，它是我今天的第一个收获，我把它放在手心里，仔仔细细地翻看着，它有光亮的外皮、齐整的鱼鳞，以及修长的身子。当夕阳西下时，我得思归途了，且看天空一片斑斓的色彩，山色也逐渐暗下去了，近处的山林、田野也呈现出一片暗绿来。飒风吹来，我感到了一阵阵凉意，“一场秋雨一场寒”，这秋雨之后的山村是一天凉过一天了。立于半山的公路上回望山谷，天，是秋色的好；景，是秋晨的妙，且把那世俗都换着这山色秋波，作一日钓叟农人，岂不更妙？