27-28静电场边界条件(10学时).

电磁场与电磁波1§2.7静电场的边界条件§2.8导体系统的电容电磁场与电磁波2§2.7静电场的边界条件问题的提出一般情况下求电位或场强两个“方程”：无源——Laplace’sEquation有源——Poission’sEquation边值问题：在给定边界条件下求解偏微分方程。边界条件就是不同介质(或导体)分界面两侧的场量之间的关系。边界条件的作用：确定方程的解中的待定因素；使方程通解成为适用于具体问题的特解。电磁场与电磁波3边界的分类边界的分类：第1类:已知整个边界上的电位DirichletProblems狄理赫利问题第2类:已知整个边界上电位的法导NeumannProblems纽曼问题第3类:已知部分边界电位+另一部分边界电位法导HybridProblems混合问题电磁场与电磁波4处于自由空间中导体的边界条件1.导体本身：等势体2.导体表面：3.导体内部：电场为零00,stnEE新问题：静电场中的电介质呢？电磁场与电磁波51.电位移矢量的边界条件-法向利用Gauss定理SSdDsSsnnDD211D12na2na12D1ΔS2ΔS做一个很扁很扁的“扁盒子”1D122DSSDSDSDSDSnnΔΔΔΔΔ212211---界面上自由电荷面密度电磁场与电磁波6snnDD21()()nnnnDDaEaanEsnn22111D12na2na12D1ΔS2ΔS电磁场与电磁波7讨论界面上没有自由电荷时——导体表面snnDD211212snnnnDD21nn2211snD102nD电磁场与电磁波82.电场强度的边界条件-切向利用静电场的斯托科斯定理0cldE0ΔΔΔΔ212211lElElElEttttEE212E1E12na1na22E1E12na1na21Δl2Δl0h电磁场与电磁波9介质分界面上电位的连续性0limdlim0abambbahEhEl2E1E12na1na2abba电磁场与电磁波10电介质的边界条件-小结1.法向：12nnsDD2.切向：12ttEE211212snn3.电位的连续性：电磁场与电磁波11012212drdrdrdr1)()0(ar0drdrdrdr122222)()(ra边界条件积分之，得通解43221021CrC)r(Cr1C6r)r(例设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解:采用球坐标系,分区域建立方程ar2ar1ar20ar10rr100rr参考点电位0r2电磁场与电磁波12解得032023413aC2aC0C0C,电场强度（球坐标梯度公式）：ar03rrr0r111eerE)(rar3arr202r22eerE)(2对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由得到电场强度E的分布。E电位：rar3arar0ra36r0322201)()()(电磁场与电磁波13§2.8导体系统的电容电容的定义1.传统的定义：两个导体,分别带电q和－q,电位差U，则C=q/U;2.自电容：孤立导体;3.部分电容：多个导体,较复杂的带电情况,两两导体之间的相对电容参数——是一种分布参数.电容的大小与导体系统的尺寸和介电常数有关，与它是否带电无关。只探讨传统定义电容的计算。电磁场与电磁波142.8电容及部分电容电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。电容的计算思路:1UQCdUQlEE设工程上的实际电容：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。UQCpf,f(F法拉），定义：单位：试求球形电容器的电容。解：设内导体的电荷为,则q,qdSSDr20r2r4q,r4qeEeDabab4q)b1a1(4qEdrU00ba同心导体间的电压abab4UqC0球形电容器的电容aC04当b时（孤立导体球的电容）电磁场与电磁波152，UEQ理想电容器电容器Capacitor，电容Capacitance平板电容,两块板面积S,间距d,板间介质,求电容。假设有电压U,板间无电荷,Laplace’sEqu.面积Sd+-Uzx0)(2222dzdz电磁场与电磁波16+-Ud面积SUdzz)(边界条件：Udz|0|0zDirichletProblemszUEed?sQSdSUQC——建议记住0)(2222dzdz21CzCsnUDd电磁场与电磁波17解：忽略边缘效应xeE1221021ddUxeE1221012ddUx1121eEExe22110SSq2211EE02211UdEdE图（a）02211qSS2211图（b）例如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知和,图(a)已知极板间电压U0,图(b)已知极板上总电荷,试分别其电容。12121,S,S,d,d20q（a）（b）电磁场与电磁波18例4.特殊同轴线求单位长度上的电容？分析：(1)求电容有几种方法？(2)有没有对称性？什么座标？0abU电磁场与电磁波19(1)设零电位(2)设边界条件：(3)柱座标系下拉氏方程(4)利用对称性(与z座标无关)，猜“仅与r相关”BrArln)(11012Uar|0|br0abU12DrErln)(22代入边界条件发现：rbUablnln21电磁场与电磁波20rUaEabr1ln?QS?Q单位长度上内导体0abU1212EE21?)]2([][21aDaDQ)ln()2(0abUQC电磁场与电磁波21一般同轴线的电容)ln()2(0abUQC0abUabU2)ln(2abUQC电磁场与电磁波22Thinking平行双导线,直径d,间距D,求单位长度电容.DddDC2ln0电磁场与电磁波23部分电容电磁场与电磁波24假设：1、多导体系统是静电独立系统系统中电场的分布只和系统内各带电体的形状、尺寸、相互位置、介电常数有关，和系统以外的带电体无关2、所有的电位移线全部从系统内的带电体发出，终止于系统内的带电体012.....0nqqqq电磁场与电磁波25abc+q1-q2q1+q2-(q1+q2)12100111()44qqabcc1220044qqcc电磁场与电磁波2611111222211222,pqpqpqpq11122122,,,pppp电位系数1111122112211222221122...................................................................................kknnkknnnnnnkknnnpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpq对于n个导体和大地构成的系统，有：电磁场与电磁波271122,,...,,...kknnpppp------自电位系数1213,,...,...,nkknpppp------互电位系数电位系数都为正值，且：nkknpp1112311|...0,0;npqqqqq12|...0,0;kkknkkpqqqqq221211|...0,0;npqqqq1|...0,0;nnknkkpqqqq电磁场与电磁波28电容系数和感应系数1111122112211222221122...................................................................................kknnkknnnnnnkknnnqqq1122,,...,....,kknn----电容系数1223,,...,....,knnk----感应系数电磁场与电磁波2912|...0,0;kkknkkqkn21Φ=0qk,φkqn12|...0,0;nknnkkq121|...0,0;kknnnnqβkk为正，βkk为负电磁场与电磁波30部分电容1211221211111211111111211111122111111111111112.............(()..(......)).(...)knkkknnkkknnnnnkknq电磁场与电磁波31121111111211()..()....()kknnqCCCC221212222222()...()...()kknnqCCCC1122()()...()...nnnnnnknknnnqCCCC式中：12......kkkkkkknC,knknCnknkC自有部分电容：Ckk互有部分电容：Ckn所有的部分电容都大于0电磁场与电磁波32例2.10半径a1，a2，球心距离为d，da，求导体系统的电容C11，C22，C12，C21。dC12C11C22a1a2另金属球分别带电q1，q2，电位为ϕ1，ϕ2，无穷远处电位为0：1120101144qqad2120021144qqda11111221211222,pqpqpqpq1122122101020111,,444ppppaad电磁场与电磁波33201221122112212124dappppdaa01212122122112212124aadppppdaa202112222112212124dappppdaa20121111122124()adadCdaa20212221222124()adadCdaa0121221122124aadCCdaa电磁场与电磁波342.9静电场的能量与静电力对于一个带电量为q1,q2,…,qn，电位分别为ϕ1,ϕ1,…,ϕn的点电荷系统，可以证明，系统总的电场储能为：112nekkkWq对于连续分布的带电系统，系统总的电场储能为：111,,222eeselslWdWdsWdl电磁场与电磁波35静电场的能量密度'111'22inesSiWdds导体1导体n导体3S∞0'n0n0'n电磁场与电磁波36把积分区域扩大到整个区域()DDD111()222