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18．2.2条件概率[读教材·填要点]1．条件概率设A，B是事件，且P(A)0，以后总是用P(B|A)表示在已知A发生的条件下B发生的条件概率，简称条件概率．2．条件概率的计算公式如果P(A)0，则P(B|A)＝PA∩BPA.3．条件概率的性质①P(B|A)∈[0,1]②如果B与C为两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．[小问题·大思维]1．P(B|A)＝P(A∩B)吗？提示：事件(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生，而事件A∩B是指事件A与事件B同时发生，故P(B|A)≠P(A∩B)．2．P(B|A)和P(A|B)相同吗？提示：P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)不同．条件概率的计算[例1]在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．[解]设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A∩B.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的基本事件总数为A25＝20.事件A所含基本事件的总数为A13×A14＝12.故P(A)＝1220＝35.(2)因为事件A∩B含A23＝6个基本事件．所以P(A∩B)＝620＝310.2(3)法一：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P(B|A)＝PA∩BPA＝31035＝12.法二：因为事件A∩B含6个基本事件，事件A含12个基本事件，所以P(B|A)＝612＝12.条件概率的计算方法有两种：(1)利用定义计算，先分别计算概率P(A∩B)和P(A)，然后代入公式P(B|A)＝PA∩BPA.(2)利用缩小样本空间计算(局限在古典概型内)，即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A，原来的事件B缩小为AB，利用古典概型计算概率：P(B|A)＝nA∩BnA.1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(A∩B)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？解：(1)设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为(x，y)，建立一一对应的关系，由题意作图如图．显然：P(A)＝1236＝13，P(B)＝1036＝518，P(A∩B)＝536.(2)法一：P(B|A)＝nA∩BnA＝512.法二：P(B|A)＝PA∩BPA＝53613＝512.条件概率的应用[例2]在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．[解]法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，3“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)＝110，P(AB)＝1×210×9＝145，P(AC)＝1×310×9＝130.∴P(B|A)＝PABPA＝145110＝1045＝29，P(C|A)＝PACPA＝130110＝13.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59.∴所求的条件概率为59.法二：∵n(A)＝1×C19＝9，n(B∪C|A)＝C12＋C13＝5，∴P(B∪C|A)＝59.∴所求的条件概率为59.利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．2．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生考试中获得优秀”，则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝C610C620＋C510C110C620＋C410C210C620＝12180C620，P(A∩D)＝P(A)，P(B∩D)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)4PAPD＋PBPD＝210C62012180C620＋2520C62012180C620＝1358.故所求的概率为1358.解题高手妙解题盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[尝试][巧思]本题数据较多，关系有点复杂，可采用列表方法理顺关系，这样不仅过程简单，同时还能快捷地找出计算条件概率时所需的相关事件的概率．[妙解]设事件A：“任取一个球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：红球蓝球小计玻璃球246木质球3710小计51116由表知，P(B)＝1116，P(A∩B)＝416，故所求事件的概率为P(A|B)＝PA∩BPB＝4161116＝411.1．若P(A)＝34，P(B|A)＝12，则P(A∩B)等于()A.23B.38C.13D.58解析：选B利用条件概率的乘法公式求解．P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝34×12＝38.2．用“0”“1”“2”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，5用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)＝()A.12B.13C.14D.18解析：选B∵P(B)＝3×33×3×3＝13，P(AB)＝33×3×3＝19，∴P(A|B)＝PABPB＝13，故选B.3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A.18B.14C.25D.12解析：选BP(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝PABPA＝11025＝14.4．若P(A)＝310，P(B)＝410，P(A∩B)＝110，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.解析：P(A|B)＝PA∩BPB＝14，P(B|A)＝PA∩BPA＝13.答案：14135.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝______；(2)P(B|A)＝______.解析：圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是π4，根据几何概型的概率计算6公式得P(A)＝2π，根据条件概率的公式得P(B|A)＝PA∩BPA＝12π2π＝14.答案：(1)2π(2)146．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．解：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．(1)由题意，P(A)＝1040＝14.(2)法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝415.法二：P(B)＝1540＝38，P(AB)＝440＝110，∴P(A|B)＝PABPB＝415.一、选择题1．设P(A|B)＝P(B|A)＝12，P(A)＝13，则P(B)等于()A.12B.13C.14D.16解析：选BP(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝13×12＝16，由P(A|B)＝PA∩BPB，得P(B)＝PA∩BPA|B＝16×2＝13.2．4张奖券中只有一张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()7A.14B.13C.12D．1解析：选B设第一名同学没有抽到中奖券为事件A，最后一名同学抽到中奖券为事件B，则P(B|A)＝PA∩BPA＝13.3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45解析：选A根据条件概率公式P(B|A)＝PABPA，可得所求概率为0.60.75＝0.8.4．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为()A.119B.1738C.419D.217解析：选D设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有一张假钞”，所以为P(A|B).而P(AB)＝C25C220＝119，P(B)＝C25＋C15C115C220＝1738.∴P(A|B)＝PABPB＝217.二、填空题5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________．解析：记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9.故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72.答案：0.726．6位同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率是________．解析：甲排在第一跑道，其他同学共有A55种排法，乙排在第二跑道共有A44种排法，所以8所求概率为A44A55＝15.答案：157．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．解析：设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝5100＝120，P(AB)＝C15C195A2100＝19396，所以P(B|A)＝PABPA＝9599.答案：95998．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，记A＝{出现的点数为奇数}＝{1,3,5}，B＝{出现的点数不超过3}＝{1,2,3}．若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为________．解析：由题意知n(B)＝3，n(A∩B)＝2，故在出现的点数不超过3的条件下，出现的点数是奇数的概率为P(A|B)＝nA∩BnB＝23.答案：23三、解答题9．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．解：令A＝{第1只是好的}，B＝{第2只是好的}，法一：n(A)＝C16C19，n(AB)＝C16C15，故P(B|A)＝nABnA＝C16C15C16C19＝59.法二：因事件A已发生(已知)，故我们只研究事件B发生便可，在A发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(B|A)＝C15C19＝59.10．一袋中装有6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出2个球．求：(1)第1次取到黑球的概率；(2)第1次和第2次都取到黑球的概率；(3)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率．9解：设第1次取到黑球为事件A，第2次取到黑球为事件B，则第1次和第2次都取到黑球为事件A∩B.(1)从袋中不放回地依次取出2个球的事件数为n(Ω)＝A210＝90.根据分步乘法计数原理，n(A)＝