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9-1证明临界晶核的形核功与临界晶核体积的关系为：∆G=𝑉𝑉∗.∆𝐺𝐺𝑉𝑉2并证明非均匀形核有同样的关系。均匀形核：∆G=−43𝜋𝜋𝑟𝑟3∆𝐺𝐺𝑉𝑉+4𝜋𝜋𝑟𝑟2𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆其中，∆𝐺𝐺𝑉𝑉=∆𝐺𝐺𝑉𝑉𝑆𝑆−∆𝐺𝐺𝑉𝑉𝑆𝑆=𝑆𝑆𝑉𝑉.∆𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚,∆𝑇𝑇=𝑇𝑇𝑚𝑚−𝑇𝑇,𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆表示固-液相的界面能，𝐿𝐿𝑉𝑉表示单位体积的熔化潜热，数值为正利用𝑑𝑑∆𝐺𝐺𝑑𝑑𝑟𝑟=0求出临界形核半径𝑟𝑟∗=2𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆∆𝐺𝐺𝑉𝑉所以，∆G∗=−43𝜋𝜋𝑟𝑟∗3∆𝐺𝐺𝑉𝑉+4𝜋𝜋𝑟𝑟∗2𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆=−𝑉𝑉∗∆𝐺𝐺𝑉𝑉+𝑉𝑉∗.3𝑟𝑟∗.𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆=−𝑉𝑉∗∆𝐺𝐺𝑉𝑉+𝑉𝑉∗.3.∆𝐺𝐺𝑉𝑉2𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆=𝑉𝑉∗.∆𝐺𝐺𝑉𝑉2非均匀形核同理可得：∆G=𝑉𝑉∗.∆𝐺𝐺𝑉𝑉2𝑓𝑓(𝜃𝜃)9-2写出临界晶核中原子数目的表达式，假设为面心立方晶体。思路：晶胞数=临界晶核体积单个晶胞体积→临界晶核中原子数目=晶胞数×4（每个面心立方晶胞有4个原子）解：单个晶胞的体积=a3，其中a表示晶格常数，其与原子半径的关系为：α=2√2𝑟𝑟所以，单个晶胞的体积=�2√2𝑟𝑟�3=16√2𝑟𝑟3=12√2𝑉𝑉𝜋𝜋(因为单个原子体积V=43𝜋𝜋𝑟𝑟3)临界晶核的体积=43𝜋𝜋𝑟𝑟∗3=43𝜋𝜋（2𝛾𝛾∆𝐺𝐺𝐵𝐵）3临界晶核中原子数目=晶胞数×4=临界晶核体积单个晶胞体积×4=43𝜋𝜋�2𝛾𝛾∆𝐺𝐺𝐵𝐵�3×𝜋𝜋12√2𝑉𝑉×4=16√2𝛾𝛾3𝜋𝜋29𝑉𝑉∆𝐺𝐺𝐵𝐵39-3设想液体在凝固时形成的临界核心是边长为a的立方体，（1）导出均匀形核时临界晶核边长和临界形核功。（2）证明在同样过冷度下均匀形核时，球形晶核较立方晶核更易形成。(1)∆G=−𝑎𝑎3∆𝐺𝐺𝑉𝑉+6𝑎𝑎2𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆利用𝑑𝑑∆𝐺𝐺𝑑𝑑𝑎𝑎=0求出临界晶核边长，𝑎𝑎∗=4𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆∆𝐺𝐺𝑉𝑉所以，∆G∗=−𝑎𝑎∗3∆𝐺𝐺𝑉𝑉+6𝑎𝑎∗2𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆=32𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆3∆𝐺𝐺𝑉𝑉2(2)因为∆𝐺𝐺𝑉𝑉=∆𝐺𝐺𝑉𝑉𝑆𝑆−∆𝐺𝐺𝑉𝑉𝑆𝑆=𝐿𝐿𝑉𝑉.∆𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚所以在相同过冷度下，∆𝐺𝐺𝑉𝑉相同又因为对球形晶核有∆G∗==16𝜋𝜋𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆33∆𝐺𝐺𝑉𝑉2所以，∆𝐺𝐺球∗∆𝐺𝐺立∗，故在同样过冷度下均匀形核时，球形晶核较立方晶核更易形成。9-4假设△H、△S与温度无关，试证明金属在熔点以上不可能发生凝固。∆H=𝐻𝐻𝑆𝑆−𝐻𝐻𝑆𝑆∆S=𝑆𝑆𝑆𝑆−𝑆𝑆𝑆𝑆∆G=∆H−T∆S当温度为熔点Tm时，∆G=∆H−𝑇𝑇𝑚𝑚∆S=0∆S=∆H𝑇𝑇𝑚𝑚=𝑆𝑆𝑇𝑇𝑚𝑚(𝐿𝐿表示凝固潜热，数值为负值)∆G=∆H−T∆S=L−T𝐿𝐿𝑇𝑇𝑚𝑚=L𝑇𝑇𝑚𝑚−𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚当温度T高于熔点Tm时，∆G0,故金属在熔点以上不可能发生凝固9-5分析下面两图，哪个正确，图中T3T2T1,根据结晶理论说明原因，见下图。因为∆G=−43𝜋𝜋𝑟𝑟3∆𝐺𝐺𝑉𝑉+4𝜋𝜋𝑟𝑟2𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆∆𝐺𝐺𝑉𝑉=∆𝐺𝐺𝑉𝑉𝑆𝑆−∆𝐺𝐺𝑉𝑉𝑆𝑆=𝑆𝑆𝑉𝑉.∆𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚,∆𝑇𝑇=𝑇𝑇𝑚𝑚−𝑇𝑇所以，晶核半径r为定值时，温度T升高→∆𝐺𝐺𝑉𝑉减小→∆G升高，故（b）图正确9-6假定镍的最大结晶过冷度为319℃，求在这个温度均匀形核的临界半径和形核功，已知Tm=1453℃，Lm=-18079J/mol，γ=2.25×10-5J/cm2，摩尔体积为6.6cm3.∆𝐺𝐺𝑉𝑉=∆𝐺𝐺𝑉𝑉𝑆𝑆−∆𝐺𝐺𝑉𝑉𝑆𝑆=𝐿𝐿𝑉𝑉.∆𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝐿𝐿𝑉𝑉表示单位体积的熔化潜热，数值为正Lm表示凝固潜热，数值为负。所以，∆𝐺𝐺𝑉𝑉=−𝐿𝐿𝑚𝑚.∆𝑇𝑇𝑉𝑉𝑛𝑛𝑇𝑇𝑚𝑚=−−18079×3196.6×(1453+273.15)𝐽𝐽/𝑐𝑐𝑐𝑐3=506.11𝐽𝐽/𝑐𝑐𝑐𝑐3均匀形核临界半径𝑟𝑟∗=2𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆∆𝐺𝐺𝑉𝑉=8.89×10−8均匀形核临界形核功∆G∗=16𝜋𝜋𝛾𝛾𝑆𝑆𝑆𝑆33∆𝐺𝐺𝑉𝑉2=7.45×10−19J9-7如下图所示，40%B的合金在细长的熔舟中进行定向凝固，固液相界面保持平直，液相中可以充分混合，凝固中始终保持均匀成分，固相中的扩散可以忽略。试求：（1）合金的K0值及本实验条件下的Ke值，（2）凝固后金属棒中共晶体所占比例，（3）合金“平衡”凝固后共晶体所占比例，（4）若共晶含5%B，解（2）（3）小题。（1）𝐾𝐾0=𝐶𝐶𝑆𝑆𝐶𝐶𝐿𝐿=3060=0.5,实验条件中液相充分混合，凝固中保持成分均匀，故𝐾𝐾0=𝐾𝐾𝑒𝑒=0.5（2）共晶时，𝐶𝐶𝑆𝑆=𝐶𝐶0𝑓𝑓𝑆𝑆𝐾𝐾0−1,𝑓𝑓𝑆𝑆=49,所以共晶占比49（3）杠杆原理，40−3060−30=13（4）①𝐶𝐶𝑆𝑆=𝐶𝐶0′𝑓𝑓𝑆𝑆𝐾𝐾0−1,𝑓𝑓𝑆𝑆=1144,所以共晶占比1144②无共晶9-8上图中含20%的合金在细长的熔舟中进行定向凝固，若凝固速率为1cm/h，D=2×105cm2/s，若要使固液界面保持平直，求液相中的温度梯度。固液面保持平直，即不能出现成分过冷G≥R×𝑐𝑐𝐶𝐶0𝐷𝐷×1−𝐾𝐾0𝐾𝐾0=527𝐾𝐾/𝑐𝑐𝑐𝑐