高二数学选修4-4平面直角坐标系中的伸缩变换与极坐标系(上课用-公开课课件)

（1）平面直角坐标系的伸缩变换（二）极坐标系1xO2y=sinxy=sin2x思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?2x’=xy’=y121通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：3（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)x’=xy’=3y2通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。24（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)x’=xy’=3y12通常把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。5定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换'(0):'(0)xxyy的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。6注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在同一直角坐标系下进行伸缩变换。0,071)2(032)1(32{222yxyxyyxx、、后的图形。换对应的图形经过伸缩变，求下列方程所、在平面直角坐标系中例8003232{0,032)5()5(3121{32{)1(yxyxyyxxyxyxyyxxyyxx变成直线后，直线所以，经过伸缩变换后的方程为得到经过伸缩变换代入将得到由伸缩变换解：9194132{194,1)5()2(22222222yxyxyyxxyxyx变成椭圆后，圆所以，经过伸缩变换图形的方程是得到经过伸缩变换后的代入、将10由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆。思考：在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？11课堂练习（2分钟）课本P8第4、6题12四食堂在什么位置？13以超市所在直线为X轴以牛奶棚所在直线为Y轴...脑子进水了？14从这向北走100米。我知道了。15从这向北走100米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。16极坐标系与极坐标MO||OM极径极点极轴点O极点射线Ox极轴极径角极角极角有序实数对(,)极坐标x逆时针为正角顺时针为负角极角是以射线Ox为始边,射线OM为终边的角,用弧度制表示17例题解析例1.在极坐标系中表示下列坐标对应的点.xO4234547432(4,)65(3,)127(2,)623(5,)123(1,)4由极坐标描点的步骤：(1)先按极角找到点所在射线；(2)在此射线上按极径描点.18例题解析例2.试写出下列点所对应的极坐标.xO232(5,)6A(3,)2BAB5(4,)6CC7(5,)6DDE11(4,)6E一点的极坐标唯一吗？(,)(,2)k表示同一点19与直角坐标系的联系与区别极坐标系与直角坐标系的异同是什么？都是用有序实数对来表示平面上的点.其中的有序实数对意义不同.直角系的坐标与平面上点是一一对应的;极坐标系的坐标与平面上点多对一的;有没有办法使极坐标与点之间一一对应？0,02且（或）除极点(0,)外，限制20探索Ox已知一点,与它关于极轴所在直线对称的点如何表示？M(,)M(,)若M的坐标为,则M’的坐标可以是(,)(,).21探索Ox已知一点,与它关于极点对称的点如何表示？M(,)M(,)若M的坐标为,则M’的坐标可以是(,)(,).22极径的推广负的极径有意义吗？“负”的意义是什么？标准之下3摄氏度与-3摄氏度.方向相反a与.a与.Ox(,)M(,)若M的坐标为则M的坐标也可以是(,)(,).特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0。因为负极径只在极少数情况用。23极坐标系与极坐标极径点O极点射线Ox极轴角极角有序实数对(,)极坐标逆时针为正角顺时针为负角0终边上取M0终边反向延长线上取MOx(,)M(,)||2425在直角坐标系中,以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相同的长度单位26x=ρcosθ,y=ρsinθ271.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.互化公式的三个前提条件：28已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。293031作业：《优化方案》做到第9页32点的轨迹设M(x,y)是直角坐标系内一点,当M按某种规律在平面内运动时,所留下的运动轨迹,反映在图形上就是一条曲线.Oxy所谓某种规律：M(x,y)坐标之间所满足一定关系式.某个方程若要用一个方程刻画坐标平面内的曲线C,则方程与曲线之间应当满足怎样的关系？33曲线与方程定义.在直角坐标系中,如果曲线C和二元方程之间满足:(,)0Fxy①曲线C上的点的坐标都是方程的解;②方程的解为坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的方程;(,)0Fxy曲线C是方程的曲线.(,)0Fxy34极坐标方程定义.在极坐标系中,如果曲线C和二元方程之间满足:(,)0F①曲线C上的点的极坐标都是方程的解;②方程的解为极坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的极坐标方程;(,)0F曲线C是方程的曲线.(,)0F这样推广合理吗？为什么？35问题探索极轴所在直线的极坐标方程是什么？Ox0①曲线上的点的坐标都是方程的解;(R)②方程的解为坐标的点都在曲线上;极点(0,0)(0,2)符合方程不符合方程极坐标的不唯一性导致了上述情况.这个方程合理吗？36极坐标方程定义.在极坐标系中,如果曲线C和二元方程之间满足:(,)0F①曲线C上的点的所有极坐标中,至少有一个是方程的解;②方程的解为极坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的极坐标方程;(,)0F曲线C是方程的曲线.(,)0F37求曲线的极坐标方程步骤1、设点M(ρ,θ)是曲线上任意一点；2、根据几何条件建立关于ρ,θ的方程，并化简；3、检验并确认所得的方程即为所求。38例题解析例2.求以为圆心,半径为的圆的极坐标方程.(,0)Ca(0)aa(,)P2aMOx解:如图所示:设点P坐标为(,)即2cosa则||cos||OPOM(,)P()22()2239例题解析例3.如图,求过,与极轴夹角为的直线方程.(,0)(0)Maa(,)P(,0)MaO解:则,||(0)OP设点P坐标为,(,)x(0),POM若点P位于极轴上方,(,)P在中,OPMsin()sin()asin()sina40例题解析例4.设质点M为射线OA上的动点,已知M沿方向作匀速运动,同时射线OA又绕着它的端点O作等角速度旋转,求质点M运动的轨迹方程.OAxO阿基米德螺线解:0MMA设点M的初始位置为,00(,0)M以O为极点,以射线OM0为极轴,设M的运动速度为v,设OA的角速度为,时间为t,则有0.a41练习求下图中的圆的极坐标方程,半径都是a(,)2CaxxOOa2sinaP42练习求下列直线的极坐标方程．)3,3(P(1)过极点与点(2)过点且与极轴垂直(3)过点且与极轴平行(2,0)M(3,)2M23cos2sin34322121212122cos()PP设两点，则由余弦定理得：111222(,),(,)PP极坐标系下两点间的距离公式•••OxAB45644Ex2.3.3两种坐标的互化45引入已知点的极坐标，如何得到其直角坐标？Ox(4,)3P例如：(4,)3Ppxpy4cos23px设其直角坐标为,(,)ppxy4sin233pyy46极坐标直角坐标Ox(,)Ppxpy则有：cossinxy一般地,设点P是平面上任意一点,其极坐标为,如图建立直角坐标系,设直角坐标为,(,)(,)xy(,)xy如何证明？47Ox0时,cossinxyP的直角坐标为：P在极点,显然成立;0时,||(,)PP的坐标可改写为(,)(0)0时,ycoscos()sin()xy则sin48极坐标直角坐标Ox(,)Ppxpy则有：cossinxy一般地,设点P是平面上任意一点,其极坐标为,如图建立直角坐标系,设直角坐标为,(,)(,)xy点的极坐标化直角坐标是唯一的。49例题解析例1.将下列极坐标化为直角坐标：极坐标(2,)6(3,1)直角坐标5(4,)3(2,23)直角坐标(2,)(2,0)直角坐标(2,)3(1,3)直角坐标50直角坐标极坐标则由：cossinxy一般地,设点P是平面上任意一点,其直角坐标为,如图建立极坐标系,设极坐标为,(,)(,)xy222tan(0)xyyxx,0)2Z(kxk点的直角坐标化极坐标，不是唯一的。51例题解析例2.将下列点的直角坐标化为极坐标：直角坐标(1,3)2(2,)3极坐标(3,3)(0,4)3(4,)2极坐标(2,23)3(33,)4极坐标(4,)3极坐标由点所在象限确定极角的值52极坐标方程定义.在极坐标系中,如果曲线C和二元方程之间满足:(,)0F①曲线C上的点的所有极坐标中,至少有一个是方程的解;②方程的解为极坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的极坐标方程;(,)0F曲线C是方程的曲线.(,)0F53例题解析例3.化直角组表方程为极坐标方程.0xy解:cossinxy由,得cossin0,(cossin)0,0或者cossin0tan1,(Z)4kk表示极点，0(R).4故所求极坐标方程为表示直线,(Z)4kk过极点54例题解析例4.化极坐标方程为直角坐标方程.4cos解2时,024cos,cossinxy由,得224xyx22(2)4.xy时,0表示极点,直角坐标为(0,0),满足上述方程,因此所求直角坐标方程为22(2)4.xycossinxy解1由得2222224(0)xxyxyxy55练习1.极坐标方程表示的曲线是.cos202cos()42.圆的圆心的极坐标是，半径是.56