可分离变量的微分方程

第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程及其解法二、典型例题一、可分离变量的微分方程及其解法1、可分离变量的微分方程转化xxfyygd)(d)()()(dd21yfxfxy0)(d)(11xNxxMyyNyMd)()(22｝（一阶）2、分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设函数g(y)和函数f(x)是连续的dxxfdyyg)()(则(1)分离变量将方程整理为(2)两边积分说明：在微分方程这一章，不定积分表示被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常数用一个C表示.（隐式通解,或通积分）二、典型例题例1.求微分方程的通解.解:xxyyd2d当y≠0时，分离变量得两边积分得12lnCxy即)(1CeC(C为任意常数)另外，y=0也是方程的解，0所以，原方程的通解为例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得即Cxy12由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为1)0(y例3.求下述微分方程的通解:解:令,1yxu则故有uu2sin1即Cxutan解得Cxyx)1tan((C为任意常数)所求通解:通过适当变量代换可化为可分离变量的微分方程练习求下列方程的通解:提示:xxxyyyd1d122分离变量方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln提示:例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量,,lnlnCtM得即teCM利用初始条件,得0MC故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原衰变系数例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,然后积分:得)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)1(tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.kmgvt足够大时作业P3041(1),(5),(7),(10);2(3),(4);4;6;7