1-有限差分法的基本知识

8.1预备知识三类典型的偏微分方程一根紧拉着的均匀柔软弦，长为l，两端固定在X轴上O、L两点，当它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小横向振动时，求这根弦上各点的运动规律。OLxy8.1.1波动方程☆一维波动方程最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题。要确定弦的运动方程，需要明确：确定弦的运动方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律.（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）(1)要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移(,)uxt条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动。不受外力影响。研究对象：线上某点在t时刻沿垂直方向的位移。(,)uxt简化假设：由于弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。21()xxuxxsdx在弦上任取一小段它的弧长为：(,)xxx由于假定弦在平衡位置附近做微小振动，很小，从而ux1xxxsdxx可以认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可知，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，与时间无关。即点处的张力记为。x()Tx由于振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。gs'MMsxTyxxx''Tcos1cos'1gs'MMsxTyxxx''T横向：()cos()'cos'TxTxx其中：作用在这段弦上的力有张力和惯性力，下面根据牛顿运动定律，写出它们的表达式和平衡条件。()()'0TxTxx也就是说，张力是一个常数。T横向：22(,)(,)(,)0uxxtuxtuxtTxgxxxt22(,)(,)(,)01uxxtuxtuxxtxxxx由中值定理：0xxxx令，此时2222(,)(,)0uxtuxtTxxgxxt()sin()'sin'TxTxxsgsa纵向：(,)(,)sintan,sin'tan'uxtuxxtxxa为小弦段在纵向的加速度gs'MMsxTyxxx''T22222uuagtx………一维波动方程2Ta令：------非齐次方程自由项22222uuatx------齐次方程忽略重力作用：2222(,)(,)uxtTuxtgtxa就是弦的振动传播速度假设外力在处外力密度为：方向垂直于轴。x(,)Fxtx22(,)(,)(,)(,)xxxuxxtuxtuxtTxgxFtdxxxt等号两边用中值定理：并令0x2222(,)(,)(,)uxtuxtTgFxtxt22222(,)uuagfxttx(,)(,)Fxtfxt为单位质量在点处所受外力。x当存在外力作用时：等号两边除以弦振动方程中只含有两个自变量：。由于它描写的是弦的振动，因而它又称为一维波动方程。类似可以导出二维波动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：,xt2222222(,,)uuuafxyttxy222222222(,,,)uuuuafxyzttxyz二维波动方程：三维波动方程：建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素，使问题得到适度的简化。☆均匀杆的纵振动考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动。假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位移)完全相同。试写出杆的振动方程。在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x,t)。在杆中隔离出一小段(x,x+dx)，分析受力：通过截面x，受到弹性力P(x,t)S的作用通过截面x+dx受到弹性力P(x+dx,t)S的作用P(x,t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正．根据Newton第二定律，就得到：22(,)(,)uPxdxtPxtSSdxtuPEx根据胡克定律22uPtx22220uEutxEa令：222220uuatx☆静止空气中一维微小压力波的传播201uutxxuuputxxpa设ρ为空气的密度，u为压力诱导的速度，由一维欧拉方程：动力学方程连续性方程物态方程考虑到微小压力波，u是一阶小量，是二阶小量uuuxx和1uuptxtx，utx21pptptat1uptx代入21upxat得对t求导，得22221upxtat利用22222ppatx得一维声波方程。222222222ppppatxyz☆静止空气中三维声波方程☆微幅水波动方程22222),(),(xtxattx式中：gHa水面波高为ξpa为声波速度水波速度为双曲型方程8.1.2扩散方程（抛物型方程）问题：一根长为l的均匀导热细杆，截面为一个单位面积。侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。1x2xAB☆一维热传导方程的推导热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。所要研究的物理量：(,)Txt1x2x(,)Txt分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从到的一段(代表)，设杆中温度分布为2112ttttttt热量热量通过边界的流入量满足的物理规律：均匀物体：物体的密度为常数各向同性：物体的比热和热传导系数均为常数假设条件：利用Fourier热力学定律和能量守恒定律来建立热传导方程。由Fourier热力学定律，单位时间内通过A端面的热量为：22(,)xTxtQkTkx单位时间内通过B端面的热量为：11(,)xTxtQkTkx在dt时段内通过微元的两端流入的热量12211(,)(,)()()xxTxtTxtdQQQdtkdtxx2122(,)xxTxtkdxdtx12[,]tt2211212(,)txtxTxtQkdxdtx1(,)Txt在任意时段内，同时在此时段内,微元内各点的温度由流入微元的热量升高为2(,)Txt21221[(,)(,)]xxQcTxtTxtdx2211(,)txtxTxtcdxdtt12QQ12[,]tt12[,]xx22TTcktx为此所需的热量为由能量守恒定律可得：由和的任意性可得222TTatx2kac即：其中☆内部有热源的情况：22(,)TTckFxttx(,),Fxtfxtc222,TTafxttx其中分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt。22113(,)txtxQFxtdxdt根据热学中的傅立叶定律在dt时间内从dS流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S流入V的热量为211ˆddttSQkTSt高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）2121ddttVQkTVtdddTQkStnˆddkTnStˆddkTSt热场MSSVn☆三维热传导方程的推导2121ddttVQkTVt1(,,,)Txyzt2(,,,)Txyzt221(,,,)(,,,)dVQcTxyztTxyztV21QQ流入的热量导致V内的温度发生变化22112ddddttttVVTkTVtcVtt2TkTct2TkTtc22TaTft流入的热量：温度发生变化需要的热量为：21ddttVTctVt21ddttVTcVtt22aT三维热传导方程热场MSSVn有热源三维热传导方程213ddttVQFVt22,CCFxttx☆一维浓度扩散方程☆动量输运方程22uufxtxC为物质浓度，λ为扩散系数。u为速度，fx为流体体积力，ν为流体粘性系数。显然，热传导、物质扩散、动量输运这些过程属于同一类物理现象，可用同一类型方程来描述。抛物型方程8.1.3稳态方程(调和方程)稳态问题也是自然界中普遍存在的一类物理现象，表征物理过程达到平衡状态的情况，因此物理量不随时间变化，但随空间发生变化。因此，稳态问题描述物理量的空间分布状态或场的空间分布。热传导问题，控制方程为：2222222(,,,)TTTTafxyzttxyz设场内热源为稳态的，即为f(x,y,z)流场温度不随时间变化，即T=T(x,y,z)则有222222(,,,)TTTgxyztxyz2(,,,)(,,,)/gxyztfxyzta这就是稳态方程，称为泊松方程。如果场内无热源，g(x,y,z,t)=0，则有：2222220TTTxyz这个方程又称为拉普拉斯方程。其中：又如在理想势流场中，存在速度势φ(x,y,z)，速度与φ(x,y,z)的关系为：zzyxwyzyxvxzyxu,,,,,,,,带入连续方程中0zuyuxu0222222zyx由上所述，泊松方程或拉普拉斯方程是表征稳态问题的控制方程。得椭圆型方程三类典型的偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程（双曲型）热传导问题和扩散问题满足热传导方程（抛物型）静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程（椭圆型方程）22222(,)uuafxttx222,TTafxttx222222(,,,)TTTgxyztxyz8.1.3有限差分法的基本知识1、差分方程2、截断误差3、收敛性4、稳定性§8.1.3差分方程有限差分法和有限元法是解偏微分方程的两种主要的数值方法。由于数字电子计算机只能存储有限个数据和作有限次运算，所以任何一种适用于计算机解题的方法，都必须把连续问题离散化，最终化成有限形式的代数方程组。有限差分法求解偏微分方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的变量（如密度、速度等）存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。差分法概述模型方程为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于复杂，常用一些简单的方程来阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就叫做模型方程。常用的模型方程：对流方程：0xt对流－扩散方程：22xxt热传导方程：22xtPoisson方程：fyx2222Laplace方程：02222yx模型方程)1.1()()0,(0,0RxxfxutRxxuctu题考虑对流方程的初值问解过程和原理。解的一些概念，说明求方法求偏微分方程数值为例，引入用差分以最简单一维对流方程模型方程称为时间步长。称为空间步长，间距间距记为节点为网格结点（节点），它们的交点称域的直线形成的网覆盖区轴轴和平行于网格剖分可以采用两组00).,(),(,2,1,0,2,1,0