“全面二孩”政策下的人口经济学的数学模型 ---Leslie人口矩阵模型和动态生产函数模型的构建及数

1“全面二孩”政策下的人口经济学的数学模型---Leslie人口矩阵模型和动态生产函数模型的构建及数学分析杨思正SizhengYang华南师范大学附属中学，广州日期：2017.52摘要人口经济学的数学模型是研究人口趋势和经济发展趋势的重要工具。在本文中我们首先改进了Leslie人口预测矩阵模型，在模型的参数设置中将移入率、移出率改为移入率、移出率和留存率，实现了在矩阵维数缩小为原来五分之一的高精度逐年预测，拓宽了Leslie人口预测矩阵模型的使用范围。接着我们在经典柯布-道格拉斯生产函数的基础上，利用导数和微分方程做为工具，耦合动态的人口年龄结构变化特征，建立了动态的生产函数模型。然后考虑到由数据收集所产生的时滞，我们还建立了具有时滞的微分方程模型。我们分别利用伯努利方程的求解、时滞微分方程的分步法和一些定性分析对所建立的模型进行了详细的数学分析。最后我们利用数学分析所得到的相关结果对国家的相关人口政策和经济政策进行了分析，对“全面二孩”政策下的国民经济的发展进行了预测。关键词：Leslie人口预测矩阵，生产函数，微分方程，时滞微分方程3ABSTRACTThemathematicmodelofpopulationeconomicsisanimportantmeansofstudyingpopulationtrendandeconomicdevelopmenttrend.WefirstimproveLesliepopulationforecastingmodelbychangingmoving-inrateandmoving-outratetomoving-inrate,moving-outrateandstayingrate.Ourmeasurecanreducethedimensionofthematrixfrom90times90t019times19.Hencewebroadenthescopeofthematrix.Next,basedonclassicCobb-Douglasproductionmodel,weusederivativeanddifferentialequationtoconstructdynamicproductionfunctionmodel.Takingaccountoftimedelay,weconstructadifferentialsystemwithdelaytoo.Somemethodsareusedtosolveandanalyzeabovedifferentialsystemstoobtainmanyresultsrelatedtothepopulationpolicyandeconomicpolicy.Basedontheaboveanalysis,weforecastthepopulationtrendandeconomicdevelopmenttrendunderuniversaltwo-childpolicy.41.引言马克思说过：“实践是认识的目的。”我们对数学的探究也是如此，数学的发展其归宿终究是应用于自然的和社会的实践，只不过是时间早晚罢了。因此，“应用数学”也就作为数学学科里的重要分支出现了。通过建立能够揭示客观规律的数学模型，利用过硬的数学基础知识对数学模型进行分析，解决自然的和社会的实际问题，是应用数学的基本目标和存在意义，见【1】。对于一名中学生而言，在应用数学中同样也能感受到数学之美。2016年1月1日，“全面二孩”政策正式落地，这是中国人口政策发生重大转变的标志。在此之后，中国人口结构、数量将会如何变化，在此背景下的中国国民经济又将受到怎样的影响？于是我们构建数学模型并进行分析来对中国未来的人口经济生态作出一定的预测。线性代数、常微分方程、时滞微分方程作为数学的主要分支，在人口经济学模型的构建中起到举足轻重的作用，见【1，2，3，4，5】。一位位杰出的经济学家利用数学知识为我们建立了一个又一个的应用数学模型，让我们可以利用这些数学模型对社会的未来进行大致的预测。但是，“追求真理的道路是永无止尽的。”，每个模型不论有多么优秀，都或多或少还有一定的瑕疵，需要后人去改进、完善甚至推陈出新。Leslie矩阵模型是预测人口年龄总量和年龄结构的重要数学工具。但是中国的实际国情决定现有数据难以满足传统Leslie模型的数据要求。许亚东【6】针对单独二孩政策效应预测问题，通过缩小预测范围，提高了数据采集的精度，达到了Leslie矩阵对数据精度的要求，但无法做到大范围的预测。王广州【7，8】等主要从社会统计的角度分析和估计了在不同政策下妇女的队列生育水平和总和生育率，并对妇女的生育潜力上限和下限进行了估计。他们估计全面放开二孩也不会使得人口总数急剧增加。孟令国，李博【9】采用改进的Leslie模型对“全面二孩”政策进行人口预测，基于理想假设与单独二孩政策对人口老龄化的影响效果得出：全面二孩政策对老龄化缓解作用不明显，提倡政府应当给予物质和精神鼓励来落实全面二孩政策。他们采用的年龄级是五岁为一个年龄级，即0-4岁5为第一年龄级，5-9岁为第二年龄级，依此类推，但是通过仔细研究我们发现他们所谓改进的Leslie矩阵其实是错的，因为经过一年后，每个年龄级的人口既有留在该年龄级的，也有进入下一个年龄级的，所以传统Leslie矩阵是不适用的（参见第二章中关于传统Leslie矩阵的介绍）。在第二部分我们在缩小矩阵的同时在参数设置上也作出改变，将移入率、移出率改为移入率、移出率和死亡率，不仅提高了矩阵的预测精度，还拓宽了模型的适用范围。在大量的相关文献中，生产函数法一直是经济增长潜力分析的主流方法和基本框架【3，10-14】。武康平等【10】扩展了索罗经济增长模型用于分析人口年龄结构与经济增长之间存在的紧密关系，由变量的统计分析发现人口年龄结构对经济增长的波动有重要的作用。蔡舫【11】把人口转变引致的不同人口年龄特征阶段看作是经济增长的一个额外源泉，通过对1978-1998年期间中国经济增长因素的分解分析论证了中国人口转变对改革以来经济高速增长的贡献。Culter等【12】对美国劳动力市场进行研究，发现劳动力供给的下降在资本跨国流动活跃时不一定降低生产增速。而Mason和王丰【13】以及Adersson【14】都揭示了人口转型为经济快速增长创造了机会。以上文献建立的生产函数模型都是静态模型，不能体现人口年龄结构特征的动态变化对经济发展的持续性影响。因此，在第三部分我们将以微分方程做为工具，建立一个耦合人口年龄结构特征的动态变化的生产函数模型来讨论人口年龄结构对国民经济的影响。进一步地，考虑到数据采集时出现的时滞因素，我们建立了带时滞的动态生产函数模型，让我们能够对国民经济进行更客观的动态预测。总而言之，在本文中，我们对人口经济学中的相关数学模型进行了改进与创新，并对模型进行了细致的数学分析，还利用分析得到的结论对“全面二孩”政策下中国未来人口经济生态进行了合理的预测。在这个过程中我们实现了数学由认识到实践的回归，又一次证明了应用数学在数学这门学科中的重要性和自身存在的意义。62.人口年龄结构预测模型构建和分析由于Malthus模型和Logistic模型【1，5】只能在总量上对人口进行预测，而无法在一定程度上反映人口结构的发展趋势，所以，本章将采用以年龄和性别为基础的离散矩阵模型——Leslie模型,从而更方便对中国开放“全面二孩”政策后的人口年龄结构变化进行预测。2.1人口预测理论根据不同时期不同地区人口发展特点,专家学者建立了各种人口预测方法来模拟人口发展过程,如一元线性回归法,自回归法,指数函数法,幂函数法多元回归模型法等【1，15-17】。由于本文的需要，我们主要介绍传统Leslie模型。Leslie模型构建的基本框架【2】是如下的线性方程组),()1(tSXtX其中,),...,()(901tXtXtXtXi表示t时刻年龄为1i的人口数量，S为90×90的Leslie转移矩阵，表示如下：00......0.........0......000......00......0...0...089214915sssbbS，而ib表示年龄为i的育龄妇女的生育模式（15岁到49岁为女性生育年龄），is表示年龄为i的人群的存活率。该模型形式简单，可以得到各个年龄段的人口数据，由此可以分析人口的年龄结构。但由于我们搜索到的数据是分年龄级的，即5个年龄一个年龄级，所以传统Leslie模型不再适用，因而我们将在合理假设的基础上，对传统的Leslie模型进行修正，然后设计相应的算法确定矩阵中的各个参数，最后利用基于年龄级的修正Leslie矩阵预测不实行全面二孩政策和实行全面二孩政策后中国大陆的人口年龄结构变化趋势，在比较中给出解决问题的合理化建议。为确认生育率，总和生育率、死亡率等在Leslie模型中要用的基本要素，我们7结合具体实际情况做出如下合理性假设。（1）中国和韩国是一个封闭的人口系统，不考虑境外人口迁出迁进问题。（2）在预测时间内，不发生重大疫情、自然灾害、战争等影响人口发展的重大变故。（3）从0~89岁，以5岁为一个年龄段，共18个年龄段，85岁以上为一个开放年龄区间，总共18个年龄段。（4）中国与韩国的公民均为守法公民，即两国国内在实行人口紧缩政策时（即“一孩”“二孩”政策实行期间），只存在“一孩”和“二孩”家庭。（5）所有妇女均在科学的育龄区间内生育小孩，且一胎一孩。（6）育龄区间为15岁至49岁。（7）一个国家同一时间内生育小孩的育龄家庭中，生育相同孩子数量的家庭具有相同的生育模式。2.2数据处理2.2.1中国总和生育率估计我们知道韩国作为中国的近邻，曾经是中国附属国的经历使得韩国文化深受中华文化以及儒家文化影响，中国和韩国人民的价值观念比较相近。因此中韩两国至今在许多方面依然存在共性。以下是韩国独生子女政策期间妇女总和生育率：SouthKoreaTotalFertilityRate19861987198819891990199119921.581.531.551.561.571.711.76根据预测可以计算:中国2015年总和生育率1.55×112%≈1.73，2016年总和生育率为1.55×112%×104%≈1.8，2017年总和生育率预测为1.55×112%×104%×104%≈1.84。这数据与孟令国等《全面二孩政策对人口增量及人口老龄化的影响》中提到的国家卫计委计划生育基层指导司司长杨文庄2015年11月4日提出的最高年份第二孩次生育率达到原水平的15%（即总和生育率达到1.83）8基本一致，可见我们的数据具有相当的可靠性。2.2.2对比韩国数据预测中国未来生育模式生育模式),(tjh的直接含义是：当时刻为t时年龄为j的妇女的生育加权因子。在稳定环境下可以近似地认为它与t无关，即)(),(jhtjh。一般在做理论分析时，)(jh采用概率论中的Γ分布，即111,)(1ijeijjhij，1i为最小生育年龄。设ci使)(jh取得最大值，则11-iic。因为在相似的政策背景与经济环境下，我们可以认为中国和韩国生育相同孩子数量的家庭会有相似的生育模式。所以我们由韩国数据推导韩国生育模式，进而预测中国未来生育模式。A.韩国生育模式推导*1H：韩国一孩政策下全国生育总模式*2H：韩国二孩政策下全国生育总模式*1a：韩国一孩政策下一孩家庭在所有家庭中所占比例*2a：韩国二孩政策下一孩家庭在所有家庭中所占比例*1b：韩国一孩政策下二孩家庭在所有家庭中所占比例*2b：韩国二孩政策下二孩家庭在所有家庭中所占比例*1h：韩国一孩家庭生育模式*2h：韩国二孩家庭生育模式*1：韩国一孩政策下妇女的总和生育率*2：韩国二孩政策下妇女的总和生育率通过数据分析，在一孩政策下，我们发现当26j时，)(*1jH取得最大值0.215，所以3.5*1，4，45.