华东理工高等数学(上)11学分课件PPT-7.3物理应用

7.3物理应用一.功1.变力作功1badxxfW)(Oaxx+dxbxf(x)设一物体在力f(x)(连续)的作用下沿x轴从点a移动到点b,且力的方向始终平行于x轴,求在力f(x)的作用下该物体从点a移动到点b所作的功.在[a,b]上任取一小区间[x,x+dx],在力f(x)的作用下该物体从点x移动到点x+dx所作的功:在[a,b]上积分得:Wf(x)dx,即,功W的微元:dW=f(x)dx,牛力，厘米需力米，每压缩弹簧长例5111厘米压缩至若自80厘米，60问做功多少？解Fkx根据胡克定律：，为弹性系数．其中k，由mx01.0牛，5F米牛顿得到/500k，即知：xF500如图所示，xOx需作功压缩至将弹簧自cmcm6080W6.08.0d)1(500xx)(30焦22rq例在轴坐标原点置一电量为的正电荷，在由它产生的电场的作用下，点轴移动到点处沿一个单位正电荷从brrar，)0(ba求电场力所做的功．r0abrrrd，],[bar解由库仑定律可知2rqkF电场力电场力所做的功barrqkWd2barkq1．)11(bakq32.活塞做功3r例圆柱形气缸，底圆半径为，在等温条件下，由于气体膨胀，处，处推至点把活塞从ba计算在活塞移动过程中，气体压力所做的功．abx0y解，],[baxxrV2气体体积压强VCPxrC2)(为常数C此时压力2rPFxC，任取],[]d,[baxxxxFWddxxCd所以baxxCWd功baxCln．abCln43.克服重力做功．如图内装满了水在等腰三角形水槽例)(4若将水槽内的水全部抽出，问要做功多少？m3m2m20解x03xOx如图示建立铅直坐标轴1，]3,0[]d,[xxxWdxgVxxxgd20)31(2xxxgd)31(4030dWW30d)31(40xxxgg60焦51088.5:考虑容器形状为半球形、圆柱形、长方体、圆锥体等；距离的情况．或抽水机在上方有一段5例5从深井中吊水,一吊桶自重4公斤,缆绳2公斤/m,用缆绳从30m深的水井吊水,初始时桶内装有40公斤的水,并以2m/秒的速度匀速上升,且桶内水以0.2公斤/秒速率从桶壁小孔流出,问将水吊至井口需作多少功?解取坐标如图所示0x30将水吊至井口所作的功w==拉起缆绳所作的功w1+拉起吊桶所作的功w2+提水所作的功w36(1)拉起缆绳所作的功w1在缆绳上取一微元段[x,x+dx],将其提至井口所作的功为:11(30)dwdmgx12(30)dwdxgx30102(30)900(J)wgxdxg0x302(30)gxdxxxdx7(2)拉起吊桶所作的功w22230430120(J)wmggg(3)提水所作的功w3吊一桶水需要时间:30152T(秒)在时刻t,桶中的水的质量:3400.2mt(公斤)在[t,t+t]时间段,水被提升的距离:2xvtt8所作的功为33(400.2)2dwmgdxtgdt32(400.2)dwtgdt151533002(400.2)wdwtdt1105(J)g所以将水吊至井口所作的功:1232125(J)9面积为A的平板设液体密度为深为h处的压强:hpgh当平板与水面平行时,ApP当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••二.液体的侧压力106106例水坝中有一立的矩形闸门，宽米，高米，闸门上端与水面平行．求米时，闸门所受压力．当水面在闸门顶上8)1(，水面应升高多少？要使闸门所受压力加倍)2(解.如图建立直角坐标系xy0814x)1(，]14,8[]d,[xxx，压强gxP，面积xAd10故所受压力为1Pxxgd10148牛．g5106.6)2(米．设水面应升高h此时压力2P148d10)(xhxg12Pgghg660260660即米．所以11h110.6例7一蓄水池，排水孔为一直立的直径为米的圆孔，圆心在米处．水面下的5.4．求作用在闸门上的压力当排水孔闸门关闭时，xy5.43.03.0解，]3.0,3.0[]d,[xxxPdgx)]5.4([223.02xxdxxxgd3.0)5.4(222故所受压力3.03.022d3.0)5.4(2xxxgP3.0022d3.018xxg23.04118g牛．g40512内容小结(1)先用微元分析法求出它的微分表达式dQ一般微元的几何形状有:扇、片、壳等.(2)然后用定积分来表示整体量Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功,侧压力,引力,转动惯量等.条、段、环、带、13备用题如图，半径为10m的半球形水池中盛满了水,设抽水机每分钟作功为常量千焦耳,则水深为5m时,水面下降的速率是多少?g解法一:水池截面方程为22210)10(yx]10,0[],[dyyy)10())10(10(222ygdyydwt分钟时水深mthh)(gtdyyyygh102)20)(10(14对t求导,gdtdhhhhg)20)(10(2)/(3751|)20)(10(1|525分mhhhdtdhhh当水深为5m时,水面下降的速率是)/(3751分m15)/(3751|5分mdtdhh当水深为5m时,水面下降的速率是)/(3751分m解法二:在时间间隔内,水深],[dttt)0(dhdhhhgdthgdhh)10()())10(10(222代入得5hdtdh37516