曾谨言量子力学第4章

§4.1力学量随时间的演化§4.2波包的运动，Ehrenfest定理§4.3Schrödinger图像与Heisenberg图像§4.4*守恒量与对称性的关系§4.5全同粒子体系与波函数的交换对称性第4章力学量随时间的演化与对称性§4.1力学量随时间的演化4.1.1守恒量1.经典物理中的守恒量动量守恒：质点受的合外力为零机械能守恒：外力和内非保守力不做功角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零2.量子力学中的守恒量ˆˆ()(),()AttAt守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化守恒量：力学量的值不随时间变化在任意量子态ψ下，力学量A的平均值为守恒的条件？ˆdˆˆˆ(),,,dˆˆˆˆ,,,iiˆ11ˆˆˆˆ,(,),iiˆ1ˆˆ(,[,]),iAAtAAttttHHAAAtAHAAHtAAHˆ1ˆˆ[,]iAAHttd1ˆˆˆ()[,]diAtAHtˆˆ[,]0AHdˆ()0dAtt若力学量不显含时间，即ˆ0At则若ˆiHtNotekkkkkkAAEHˆ,ˆ))(,()(,)()(ttatatkkkkkψψψψ可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。选包括H和A在内的一组力学量完全集，则体系的任意量子态可表示为3.守恒量的性质在Ψ态下，测力学量A的Ak的概率为2)(tak则该概率随时间的变化为2dd()dd(),(,())ˆ(),(,())i1ˆ((),)(,())i((),ikkkkkkkkkkkaatatttttHtttHtEt复共轭项复共轭项复共轭项复共轭项2)0复共轭项结论：如果力学量A不含时间，若[A,H]=0(即为守恒量)，则无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。4.经典与量子力学中的守恒量间的关系5.守恒量与定态(1)定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。(2)在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变；而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间改变(1)与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取确定的数值.若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。(2)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例题1判断下列说法的正误(1)在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错)(2)设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对)(3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错）(4)中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错）(5)自由粒子处于定态，则动量取确定值（错）（能级是二重简并的）(6)一维粒子的能量本征态无简并（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）证明：对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有1221ψψψψ则2211//两边同时积分得21ψψC4.1.2能级简并与守恒量的关系定理设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即[F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0,则体系能级一般是简并的。证明：[F,H]=0,则F,H有共同的本征函数ψFFEHˆ,ˆ又因为[G,H]=0,则ψψψψGEEGHGGHˆˆˆˆˆˆ即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E,即体系的能级是简并的。推论：如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态ΨE，则ΨE必为F的本征态。EEEEFEEFHFFHψψψψˆˆˆˆˆˆ证明：设ΨE是一能量本征态。因F是守恒量，则[F,H]=0即FΨE也是一个能量本征态，对应的本征值也是E.根据假定能级不简并，则必有EEFFψψˆ即ΨE也是F的本征态，对应的本征值是F´.例如：一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为守恒量，[P,H]=0,则能量本征态必为P的本征态，即有确定的宇称。事实上，也确是如此，)()1()()(ˆxxxPnnnn结论：体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级简并也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下，当能级出现简并时，可以根据体系的对称性，找出其守恒量。2ˆˆˆ/2()HpmVr22d1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆi[,][,][,()]d2ˆˆˆirprpHrpprpVrtmprVm21ˆˆˆprVmˆˆˆ2TrV位力定理：设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为r·p的平均值随时间的变化为对定态有dˆˆ0drpt则证明：ˆˆˆ[,()]ˆˆˆˆˆˆˆˆ[,()][,()][,()]ˆˆˆ()()()ˆˆˆ(i)(i)(i)ˆˆi()xyzrpVrxpVrypVrzpVrVrVrVrxyzxyzrVr22222222ˆˆ[,]ˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ˆˆˆ2i2i2iˆ2ixxyyzzxyzrppxppyppzpppppp思考题：r·p并不是厄米算符，应进行厄米化1ˆˆˆˆˆˆ()2rprppr这是否会影响位力定理得证明。答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响到定理的证明。例题1设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即),,(),,(zyxVcczcycxVn证明ˆ2nVT如谐振子221ˆˆ(),22VxmxnˆVT库仑势,1,1~)(nrrVˆ2VTδ势1ˆ()(),1,2axxnVTa证明：),,(),,(zyxVcczcycxVn两边对c求导数得),,()()()(1zyxVncczVzcyVycxVxn令c=1得nVVr则由位力定理得ˆ2TrVnV例题2求一维谐振子在态Ψn下的动能和势能的平均值解：一维谐振子的能量本征值为ω21nEn由位力定理知:VT则ω21nVTHEn所以ω2121nVT2ˆˆˆ()(1)2pHVrmˆd1ˆ[,](2)did1ˆˆˆ[,]()()(3)diprrHtmppHVrFrt1.波包的运动与经典粒子运动的关系设质量为m的粒子在势场V(r)中运动，用波包Ψ(r,t)描述，显然Ψ(r,t)必为非定态，因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的：与经典粒子运动对应的量子态为非定态设粒子运动的Hamilton为则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为§4.2波包运动，Ehrenfest(埃伦·费斯特)定理)(dd)(dd,dd22rVtrmrVtpmptr22d()(5)drmFrtrrr经典粒子运动的正则方程是(2)两边对时间求导数，并将(3)代入得到此之谓Ehrenfest方程，形式与经典的Newton方程类似，但只有当r)()(rFrF时，波包中心的运动规律才与经典粒子相同。(3)波包的扩散不太大。(1)波包很窄，其大小与粒子的大小相当；2.用波包描述粒子运动时对波包的要求：(2)势场V(r)在空间的变化很缓慢，使得波包中心处的势场与粒子感受到的势场很接近；)(rV33222)(21)()(ccccccxxVxxVxxVxVξξ在波包中心xxc附近对作Taylor展开，如：一维波包的运动(x)/Vx令ξ=x-xc，则有323()()1d(,)(,)2ccccVxVxVVxxtxtxxxxL利用0ξ得可见只有当323()()12ccccVxVxxx时才有)()()(cccxFxxVxVxF此时方程(5)与经典的Newton方程在形式上完全相同。如在势场2221(),,()2VxabxcxorVxmx中33()0Vxx条件自动满足，因此在这类势场中窄波包的运动，就与经典粒子的轨道运动相似。例α粒子对原子的散射原子的半径cm108a天然放射性元素放出α粒子的能量MeV5E则其动量为114scmg102ααmEp在对原子的散射过程中，α粒子穿越原子的时间约为αααδpamvat经典or量子描述？αδxa在该时间间隔内波包的扩散为apppammptvxαααααδδ~如果要求在α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述，就要求axδ1αpp利用不确定性关系可得119scmg10//axp显然满足条件1αpp即α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述。如果讨论电子对原子的散射，电子的质量很小，对于能量为100eV的电子有119scmg1054~2eeeEmp则epp~因此用轨道运动来描述电子是不恰当的。§4.3Schröinger图像(绘景)和Heisenberg图像（绘景）)1())(ˆ),(()(ˆtAttA)2()(ˆ)(itHtt)3(]ˆ,ˆ[i1)(ˆddHAtAt)5(1)0,0(ˆ)4(),0()0,(ˆ)(UtUt1.Schrödinger图像力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。力学量的平均值波函数随时间演化方程---Schrödinger方程力学量平均值随时间的变化波函数随时间演化可写成)0()0,(ˆˆ)0()0,(ˆitUHtUt)6()0,(ˆˆ)0,(ˆitUHtUt)0,(ˆtU)7()0,(ˆ/ˆitHetU称为时间演化算符。(4)代入(2)得到则积分得)8(1)0,(ˆ)0,(ˆ)0,(ˆ)0,(ˆtUtUtUtU可以证明：)0,(ˆtU是幺正算符。)9())0(),0(())(),((ψψψψtt)10())0()(ˆ),0(())0()0,(ˆˆ)0,(ˆ),0(())0()0,(ˆˆ),0()0,(ˆ()(ˆtAtUAtUtUAtUtA)11()0,(ˆˆ)0,(ˆ)(ˆtUAtUtAHeishenberg图像波函数不变，算符随时间变化算符的演化方程----Heisenberg方程)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(i1)0,(ˆddˆ)0,(ˆ)0,(ˆˆ)0,(ˆdd)(ˆddUHAUUAHUtUtAtUtUAtUttAt利用U的幺正性，及U+HU=H)ˆ)(ˆ)(ˆˆ(i1)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(i1)(ˆddHtAtAHUHUUAUUAUUHUtAt则d1ˆˆˆ()[(),](12)diAtAtHt上式称为Heisenberg方程。例题1自由粒子2ˆˆ/2Hpmˆˆ[,]0pHp为守恒量，则p(t)=p(0)=pˆˆi/2i/ˆˆi/i/d11ˆˆˆˆˆ()[(),][,/2]diiˆˆHtHtHtHtrtrtHerpmetppeemmˆˆˆ()(0)prtrtm则例题2一维谐振子2221ˆˆˆ/22Hpmmxˆˆˆˆi/i/i/i/ˆˆˆˆ(),()HtHtHtHtxtexeptepeˆˆi/i/ˆˆi/i/2d1ˆˆˆˆ()[,]()/did1ˆˆˆˆ()[,]()diHtHtHtHtxtexHeptmtptepHemxtt222d1dˆˆˆ()()()ddxtptxttmt12ˆ()cossinxtc