15.1.1圆的概念及性质(1).讲义学生版

Page1of18一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以AB、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性垂径定理．三、圆的性质定理1.圆周角定理（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（2）推论：知识点睛24.1圆的概念及性质Page2of18EODCBA推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．FEBACDO（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3.垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3）推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ard，根据此公式，在a，r，d三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．ra2dOCBA所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等Page3of18一、圆的相关概念及性质【例1】判断题：（1）直径是弦()（2）弦是直径()（3）半圆是弧()（4）弧是半圆()（5）长度相等的两条弧是等弧()（6）等弧的长度相等()（7）两个劣弧之和等于半圆()（8）半径相等的两个圆是等圆()（9）两个半圆是等弧()（10）圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R()【巩固】如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOBAOB，则（）A．''ABABB．''ABABC．AB的度数''AB的度数D．AB的长度''AB的长度B'A'BAO【例2】如图，点ADGM、、、在半圆O上，四边形ABOCDEOFHMNO、、均为矩形，设BCa，EFb，NHc则下列格式中正确的是()A．abcB．abcC．cabD．bcaONMHGFEDCBA【巩固】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm，则该半圆的半径为______．例题精讲Page4of18【例3】如图①，1O，2O，3O，4O为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，1O，2O，3O，4O，5O为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．图1O4O3O2O1DCBAO5EABCDO1O2O3O4图2二、圆的性质定理1.圆周角定理【例4】如图，80AOB，则弧AB所对圆周角ACB的度数是（）A．40B．45C．50D．80OCBA【巩固】如图，O⊙是ABC的外接圆，已知50ABO，则ACB的大小为__________．OCBA【例5】如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，ABO、、是小正方形顶点，O⊙的半径为1，P是O⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB等于__________．POBA【例6】如图，量角器外沿上有AB、两点，它们的度数分别是7040、，则1的度数为_________．O1BAPage5of18【巩固】如图，量角器外缘边上有APQ，，三点，它们所表示的读数分别是180，70，30，则PAQ∠的大小为（）A．10B．20C．30D．40【例7】如图，O⊙是ABC的外接圆，已知60B，则CAO的度数是（）A．15B．30C．45D．60OCBA【巩固】如图，AB是O的直径，CD是⊙O的弦，连接ACAD，，若35CAB，则ADC的度数为．【例8】如图所示的半圆中，AD是直径，且32ADAC，，则sinB的值是________．DCAB【巩固】如图，AB是O⊙的直径，CDAB，设COD，则2sin2ABAD_____________．ODCBA【例9】如图，AB为O⊙的直径，CD是O⊙的弦，ABCD、的延长线交于点E，若218ABDEE，，求AOC的度数．OEDCBACBDOAPage6of18【巩固】如图所示CD是O⊙的直径，87EOD，AE交O⊙于B，且ABOC，求A的度数．OEDCBA【例10】如图，在O⊙中，AOB的度数为m，C是ACB上一点，DE、是AB上不同的两点(不与AB、两点重合)，则DE的度数为____________．OEDCBA【巩固】如图，AB是O⊙的直径，弦PC交OA于点D，弦PE交OB于点F，且OCDCOFEF，．若CE，则CPE___________．OPFEDCBA【例11】如图所示，在ABC中，45C，4AB，则O⊙的半径为（）A.22B.4C.23D.5OCBA【巩固】如图，ABC△的三个顶点都在O⊙上，302cmCAB，，则O⊙的半径为______cm．OCBAPage7of18【巩固】如图AB是半圆O的直径，点CD、在弧AB上，且AD平分CAB，已知106ABAC，，求AD的长．ODCBA【例12】如图，ABC△是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点(点C不与AB，重合)，设OAB，C．（1）当35时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明．OCBA【巩固】如图，O⊙与P⊙相交于B、C两点，BC是P⊙的直径，且把O⊙分成度数比为12∶的两条弧，A是BmC上的动点(不是B、C重合)，连结AB、AC分别交P⊙于D、E两点．（1）当ABC是钝角三角形时，判断PDE的形状．（2）当ABC是直角三角形时，判断PDE的形状．（3）当ABC是锐角三角形时，判断PDE的形状．这种情况加以证明．mOPEDCBA【例13】圆1S及2S相交于点A及B．圆1S的圆心O落在2S的圆周上，圆1S的弦AC交2S于点D（如图），证明：线段OD与BC是互相垂直的．ABCDOS1S2Page8of18【巩固】两圆相交于A、B，P是大圆O上一点，过A、P和B、P分别作直线交小圆于C、D，过O、P作直径PE．求证：PECDPGFEDCBA【例14】如图，已知AB是O⊙的直径，点C是O⊙上一点，连结BCAC、，过点C作直线CDAB于点D，点E是AB上一点，直线CE交O⊙于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求证：2BCBGBF．FOGEDCBA【巩固】如图，已知：在O⊙中，直径4AB，点E是OA上任意一点，过E作弦CDAB，点F是BC上一点，连接AF交CE于H，连接ACCFBDOD、、、．⑴求证：ACHAFC∽；⑵猜想：AHAF与AEAB的数量关系，并说明你的猜想；⑶探究：当点E位于何处时，:1:4AECBODSS？并加以说明．ABCDEFHOPage9of18【例15】如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且ABACAE．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CADDBE；（2）22ADABBDDC．EDCBA【巩固】在ABC中，60ABC，点O、H分别是ABC的外心、垂心．点D、E分别在边BC、AB上，使得BDBH，BEBO，已知1BO．求BDE的面积．图12HOFEDCBA2.圆内接四边形【例16】如图，AB为O的直径，AC交O于E点，BC交O于D点，CDBD，70C．现给出以下四个结论：①45A；②ACAB；③AEBE；④22CEABBD．其中正确结论的序号是A．①②B．②③C．②④D．③④OEDCBA【巩固】已知：如图，面积为2的四边形ABCD内接于O⊙，对角线AC经过圆心，若45BAD，2CD则AB的长等于．ODCBAPage10of18【例17】已知AD是O⊙的直经，ABAC、是弦，若232ADABAC，，，求由ABCD，，，四点构成的四边形的周长．图1ODCBA【巩固】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点P，ABBD，且0.6PC，求四边形ABCD的周长．OPBCDA【例18】如图，四边形ABCD为正方形，O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交ABAD，于点FE，．（1）求证：DEAF（2）若O的半径为32，21AB，求AEED的值．EFOPDCBAPage11of18【例19】圆内接四边形ABCD，ACBD，AC交BD于E，EGCD于G，交AB于F．求证：AFBF．GEFABCD【巩固】圆内接矩形CEDF，过D作圆的切线AB，分别与CE、CF的延长线相交于A、B，求证：33BFBCAEAC．OFEDCBA3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例20】在同圆中，CD的度数小于180，且2ABCD，那么弦AB和弦CD的大小关系为（）A．ABCDB．ABCDC．ABCDD．无法确定【巩固】如图所示在O⊙中，2ABCD，那么（）A.2ABCDB.2ABCDC.2ABCDD.AB与2CD的大小关系不能确定DCBAOPage12of18【例21】已知ABAC、是O⊙的弦，AD平分BAC交O⊙于D，弦DEAB∥交AC于P，求证：OP平分APD．OEPDCBA【巩固】如图，过O⊙的直径AB上两点MN，，分别作弦CDEF，，若CDEFACBF，∥．求证：⑴BECADF；⑵AMBN．OFDECMBNA【例22