弹性碰撞模型及应用(带详细解析)

弹性碰撞模型及应用弹性碰撞问题及其变形在是中学物理中常见问题，在高中物理中占有重要位置，也是多年来高考的热点。弹性碰撞模型能与很多知识点综合，联系广泛，题目背景易推陈出新，掌握这一模型，举一反三，可轻松解决这一类题，切实提高学生推理能力和分析解决问题能力。所以我们有必要研究这一模型。(一)弹性碰撞模型弹性碰撞是碰撞过程无机械能损失的碰撞，遵循的规律是动量守恒和系统机械能守恒。确切的说是碰撞前后动量守恒，动能不变。在题目中常见的弹性球、光滑的钢球及分子、原子等微观粒子的碰撞都是弹性碰撞。已知A、B两个钢性小球质量分别是m1、m2，小球B静止在光滑水平面上，A以初速度v0与小球B发生弹性碰撞，求碰撞后小球A的速度v1，物体B的速度v2大小和方向解析：取小球A初速度v0的方向为正方向，因发生的是弹性碰撞，碰撞前后动量守恒、动能不变有：m1v0=m1v1+m2v2①222211201212121vmvmvm②由①②两式得：210211)(mmvmmv，210122mmvmv结论：（1）当m1=m2时，v1=0，v2=v0，显然碰撞后A静止，B以Am2v2m1v1Bm1v0BA图1A的初速度运动，两球速度交换，并且A的动能完全传递给B，因此m1=m2也是动能传递最大的条件；（2）当m1＞m2时，v1＞0，即A、B同方向运动，因2121)(mmmm＜2112mmm，所以速度大小v1＜v2，即两球不会发生第二次碰撞；若m1m2时，v1=v0，v2=2v0即当质量很大的物体A碰撞质量很小的物体B时，物体A的速度几乎不变，物体B以2倍于物体A的速度向前运动。（3）当m1＜m2时，则v1＜0，即物体A反向运动。当m1m2时，v1=-v0，v2=0即物体A以原来大小的速度弹回，而物体B不动，A的动能完全没有传给B，因此m1m2是动能传递最小的条件。以上弹性碰撞以动撞静的情景可以简单概括为：（质量）等大小，（速度和动能）交换了；小撞大，被弹回；大撞小，同向跑。（二）应用举例[例1]如图2所示，两单摆的摆长不同，已知B的摆长是A摆长的4倍,A的周期为T,平衡时两钢球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在的平面向左拉开一小角度释放，两球发生弹性碰撞,碰撞后两球分开各自做简谐运动，以mA，mB分别表示两摆球A，B的质量，则下列说法正确的是；A．如果mA=mB经时间T发生下次碰撞且发生在平衡位置B．如果mAmB经时间T发生下次碰撞且发生在平衡位置C．如果mAmB经时间T/2发生下次碰撞且发生在平衡位置右侧D．如果mAmB经时间T/2发生下次碰撞且发生在平衡位置左侧[解析]当mA=mB时，A、B球在平衡位置发生弹性碰撞，速度互换，A球静止，由于B摆长是A摆长的4倍,由单摆周期公式gLT2可知,A周期是T，B的周期是2T，当B球反向摆回到平衡位置经时间为T，再次发生碰撞。故A选项正确。当mA＞mB时，发生第一次碰撞后两球同向右摆动，但A球的速度小于B球的速度，并有A的周期是B周期的一半，T/2时B到达右侧最大位移处,此时A向左回到平衡位置,A继续向左;再经T/2,B完成半个全振动向右,A恰好完成一次全振动向左同时回到平衡位置发生碰撞，故B选项正确，C选项错误；当mAmB时，碰撞后A反弹向左运动，B向右，若mA越接近mB发生下一次碰撞的时间越接近T，若mAmB，A接近原速反弹，B几乎不动，发生下一次碰撞的时间越接近T/2，当A经T/2经平衡位置从左向右运动时B恰好在右侧最高点，而A、B碰撞的位置只能在平衡位置的右侧，或十分接近平衡位置，不可能在平衡位置的左侧，故D选项错误。[例2]质量为M的小车静止于光滑的水平面上，小车的上表面和41圆弧的轨道均光滑，如图3如图所示，一个质量为m的小球以速度v0水平冲向小车，当小球返回左端脱离小车时，下列说法正确的是：A．小球一定沿水平方向向左做平作抛运动B．小球可能沿水平方向向左作平抛运动C．小球可能沿水平方向向右作平抛运动D．小球可能做自由落体运动[解析]：小球水平冲上小车，又返回左端，到离开小车的整个过程中，系统动量守恒、机械能守恒，相当于小球与小车发生弹性碰撞的过程，如果m＜M，小球离开小车向左平抛运动，m=M，小球离开小车做自由落体运动，如果m＞M，小球离开小车向右做平抛运动，所以答案应选B，C，D[例3]在光滑水平面上有相隔一定距离的A、B两球，质量相等，假定它们之间存在恒定的斥力作用，原来两球被按住，处在静止状态。现突然松开两球，同时给A球以速度v0，使之沿两球连线射向B球，B球初速度为零；若两球间的距离从最小值（两球未接触）到刚恢复到原始值所经历的时间为t0，求：B球在斥力作用下的加速度[解析]：A球射向B球过程中，A球一直作匀减速直线运动，B球由静止开始一直作匀加速直线运动，当两球速度相等时相距最近，当恢复到原始值时相当于发生了一次弹性碰撞，，由于A、B质量相等，A、B发生了速度交换，系统动量守恒、机械能守恒。设A、B速度相等时速度为v，恢复到原始值时A、B的速度分别为v1、v2，mv0=2mv①2mv=mv1+mv2②222120212121mvmvmv③由①式得v=20v，由②③解得v1=0，v2=v0（另一组解v1=v0，v2=0舍去）则B的加速度a=000022tvvtvv=002tv[例4]如图4所示,光滑水平地面上静止放置两由弹簧相连木块A和B,一质量为m子弹,以速度v0,水平击中木块A,并留在其中,A的质量为3m,B的质量为4m.(1)求弹簧第一次最短时的弹性势能(2)何时B的速度最大，最大速度是多少？[解析](1)从子弹击中木块A到弹簧第一次达到最短的过程可分为两个小过程一是子弹与木块A的碰撞过程，动量守恒，有机械能损失；二是子弹与木块A组成的整体与木块B通过弹簧相互作用的过程，动量守恒，系统机械能守恒，子弹打入:mv0=4mv1①打入后弹簧由原长到最短:4mv1=8mv2②机械能守恒:PEmvmv2221821421③解①②③得20161mvEP(2)从弹簧原长到压缩最短再恢复原长的过程中，木块B一直作变加速运动,木块A一直作变减速运动,相当于弹性碰撞，因质量相等，子弹和A组成的整体与B木块交换速度,此时B的速度最大,设弹簧弹开时A、B的速度分别为'21,vv'mvoBA图44mv1=4mv1’+4mv2’④2’22’121421421421mvmvmv⑤解得:v1’=o,v2’=v1=40v可见,两物体通过弹簧相互作用,与弹性碰撞相似。弹性碰撞模型的应用不仅仅局限于“碰撞”，我们应广义地理解“碰撞”模型。这一模型的关键是抓住系统“碰撞”前后动量守恒、系统机械能守恒（动能不变），具备了这一特征的物理过程，可理解为“弹性碰撞”。我们对物理过程和遵循的规律就有了较为清楚的认识，问题就会迎刃而解。