弹性碰撞模型的扩展及应用

弹性碰撞模型的扩展及应用作者yunfann（声明：此文系本人根据教学实际总结的，如与网上其他的雷同，纯属巧合！在此向早些发表的类似文章表示敬意！）动量及其守恒定律在高中物理的知识体系中占有重要位置，也是历年高考的热点，弹性碰撞又是其中最典型的内容。在平时的教学实践中，我发现这一模型经过扩展并能灵活运用的话，会给我们带来全新的解题思维和更省时的解题过程，其重要意义显而易见。(一)弹性碰撞模型及其结果弹性碰撞是碰撞前后无机械能损失的碰撞，发生相互作用的系统遵循的规律是动量守恒和机械能守恒。一般表现为碰撞前后动量守恒，动能不变。模型展示：已知在光滑水平面上，A、B两个钢性小球质量分别是1m、2m，小球A以初速度10v与前面以速度20v运动的小球B发生弹性碰撞，求碰撞后小球A的速度1v和小球B的速度2v的大小。解析：取小球A运动的方向为正方向，以两球为系统，由动量守恒定律、机械能守恒定律有：1102201122mvmvmvmv①2222110220112211112222mvmvmvmv②对上面的二元二次方程组计算时先降次：整理①、②式为③、④式11012220()()mvvmvv③222211012220()()mvvmvv④由④/③得：101220vvvv⑤在将③⑤式组成二元一次方程组解出碰后小球A、B的速度分别为：1210220112()2mmvmvvmm，2120110212()2mmvmvvmm以上计算过程较为繁琐，若能记住最终结果有时会给解题带来很大的方便。讨论：特殊情况：100v，200v时，1210112()mmvvmm，1102122mvvmm当12mm时，10v，210vv两球速度交换，并且A的动能完全传递给B，因此BBAAv2v1v10v20v0图1v0AB图212mm也是动能传递最大的条件；(二)弹性碰撞模型的扩展除了两球相撞这种形式，凡是发生相互作用的物体组成的系统在某一过程中（或某一方向上）遵循动量守恒定律和机械能守恒且该过程的始末系统的动能不变，那么该作用过程都可以用弹性碰撞的模型来处理，弹性碰撞模型的方程及结论亦对其成立。(三)应用举例例1：如图1，在光滑水平面上停放质量为m装有弧形槽的小车，现有一质量也为m的小球以0v的水平速度沿槽口向小车滑去（不计摩擦），到达某一高度后，小球又返回小车右端，则下列说法错误．．的是（）A．小球在小车上到达最高点时的速度大小为0/2vB．小球离车后，对地将向右做平抛运动C．小球离车后，对地将做自由落体运动D．此过程中小球对车做的功为20/2mv解析：当小球在车上到达最高点时，小球与车具有共同的速度v，以小球与车为系统由水平方向动量守恒有：02mvmv，知A正确；对于BC选项，由小球与车组成的系统，满足动量守恒（水平方向上）、机械能守恒（小球在滑上、离开小车右端时系统动能不变），符合弹性碰撞模型，再由相互作用的小球与小车质量相等，可知小球离开小车右端时，会与小车将开始作用时两者的速度互换，故C正确；对车应用动能定理有：20102Wmv，可知D正确；那么，错误的选项为B。答案：B例2：如图2所示，一轻质弹簧两端各连接一块均为m的滑块A和B，A、B都静止于水平光滑面上，质量为m/4的子弹以水平速度0v射入A中不再穿出，求滑块B获得的最大动能。解析：设子弹射入滑块A中两者的速度为1v，以子弹与滑块A为系统，由动量守恒定律有：011()44mmvmv接着，子弹和滑块A为整体，一起向前减速滑动压缩弹簧，滑块B则受弹力作用向前加速，当弹簧恢复原长时，滑块B动能首次达到最大，此时滑块A的速度设为Av，滑块B的速度设为Bv。这一两滑块通过弹簧相互作用的过程，符合弹性碰撞模型。图3对此过程，以子弹滑块A、滑块B为系统，由动量守恒定律、机械能守恒定律有：15544ABmvmvmv22211515124242ABmvmvmv(为了节省时间，避免繁琐的计算过程，不妨利用弹性碰撞模型的结论：100v，200v时1102122mvvmm直接得到结果)∴1105210245994Bmvvvvmm故，滑块B的最大动能为22012281Bmvmv。例3：如图3所示，质量为M的天车静止在光滑水平轨道上，下面用长为L的细线悬挂着质量为m的沙箱，一颗质量为0m的子弹以0v的水平速度射入沙箱，并留在其中，在以后运动过程中，求：（1）沙箱上升的最大高度．（2）天车的最大速度．解析：（1）设子弹打入沙箱两者的共同速度为1v，由动量守恒定律有：0001()mvmmv①此后在沙箱摆动的过程中，以子弹、沙箱、天车组成的系统，在水平方向上动量守恒，整个摆动过程机械能守恒。沙箱到达最大高度时，系统有相同的速度，设为2v，则有0102()()mmvmmMv②220102011()()()22mmvmmMvmmgh③联立①②③可得沙箱上升的最大高度22002002mMvhmmmmMg（2）分析沙箱摆动的整个过程可知，当沙箱和子弹再摆回最低点时，天车速度最大，此过程以沙箱、子弹、天车组成的系统符合弹性碰撞模型。设此时沙箱速度为3v，天车速度为4v，由动量守恒得01034()()mmvmmvMv④由系统机械能守恒得22201034111()()222mmvmmvMv⑤（利用弹性碰撞的结论：100v，200v时，1102122mvvmm，子弹和沙箱为“1”，天车为“2”）求得天车的最大速度为001000422mmmvvmmMmmMv由以上应用可见，灵活应用弹性碰撞模型的扩展，确实可以给我们带来解题上很大的方便。可谓：“物理规律多奥妙，灵活应用见奇效；勿惑成果何所觅，悟自平凡即修为。”