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第4课时数的开方及二次根式考点聚焦考点1平方根、算术平方根与立方根一个数x的________等于a，那么x叫做a的立方根立方根一个正数x的________等于a，则x叫做a的算术平方根，记作.0的算术平方根是0算术平方根一个数x的______等于a，那么x叫做a的平方根，记作±平方根数的开方aa第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材平方平方立方考点2二次根式的有关概念第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材a≥0同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数不含分母最简二次根式中的a可以是数或式，但a一定要大于或等于0防错提醒形如(________)的式子叫做二次根式定义二次根式aa考点3二次根式的性质商的算术平方根积的算术平方根两个重要的性质二次根式的性质(a)2＝a(a________)a2＝||a＝（a≥0）（a0）ab＝a·b(a________，b________)ba＝ba(a________，b________)第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材≥0a－a≥0≥0≥00考点4二次根式的运算二次根式的除法二次根式的乘法先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并二次根式的加减a·b＝ab(a________，b________)ba＝ba(a________，b________)第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材≥0≥0≥00考点5把分母中的根号化去常用形式及方法(1)1a＝1·aa·a＝aa；(2)1a＋b＝a＋ba＋b第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材归类探究探究一求平方根、算术平方根与立方根命题角度：1.平方根、算术平方根与立方根的概念；2.求一个数的平方根、算术平方根与立方根．例1(1)[2013·资阳]16的平方根是()A．1个B．2个C．3个D．4个第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材B(2)(－2)2的算术平方根是()A．2B．±2C．－2D.2第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材A解析16的平方根是±4，(2)(－2)2的算术平方根是2.方法点析(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根与它本身同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化简，再进行开方运算．探究二二次根式的有关概念命题角度：1．二次根式的概念；2．最简二次根式的概念．例2[2012·广州]若代数式有意义，则实数x的取值范围是()A．x≠1B．x≥0C．x＞0D．x≥0且x≠1xx－1第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材D方法点析此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材解析由题意得x≥0且x－1≠0，解得x≥0且x≠1，故选D.探究三二次根式的化简与计算命题角度：1.二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；2.二次根式的加、减、乘、除运算．第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材例3[2013·济宁]计算：(2－3)2012·(2＋3)2013－2－32－(－2)0.第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材解：(2－3)2012·(2＋3)2013－2－32－(－2)0＝[(2－3)(2＋3)]2012·(2＋3)－3－1＝1.利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后进行运算．在中考中，二次根式常与零指数幂、负整数指数幂结合在一起考查．方法点析第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材例4[2013·德州]先化简，再求值：(a－2a2＋2a－a－1a2＋4a＋4)÷a－4a＋2，其中a＝2－1.第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材解：原式＝a－2a（a＋2）－a－1（a＋2）2÷a－4a＋2＝a－4a（a＋2）2×a＋2a－4＝1a（a＋2）.当a＝2－1时，原式＝1（2－1）（2－1＋2）＝1（2－1）（2＋1）＝1.方法点析此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母不含根号的数或者是最简二次根式．第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材探究四二次根式的大小比较命题角度：1.二次根式的大小比较方法；2.利用计算器进行二次根式的大小比较．第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材例5[2013·德州]比较大小：－37与－215.解析先比较37与215的大小．方法点析比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材解：∵－37＝－32×7＝－63，－215＝－22×15＝－60，且63＞60，∴63＞60，∴37＞215，即－37＜－215.探究五二次根式的非负性命题角度：1.二次根式的非负性的意义；2.利用二次根式的非负性进行化简．第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材20例6[2013·凉山州]若实数x，y满足|x－4|＋＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．y－8解析方法点析(1)常见的非负数有三种形式：|a|，，a2.(2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．a第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材(1)若4是腰长，则三角形的三边长为4，4，8，不能组成三角形；(2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4，8，8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20.二次根式化简中的整体思想教材母题已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值：(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.333333解因为x＝＋1，y＝－1，所以x＋y＝2，x－y＝2.则(1)x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝(2)2＝12；(2)x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝4.3第4课时┃数的开方及二次根式回归教材考点聚焦归类探究回归教材[点析]在进行二次根式化简求值时，常常用到整体思想．把x＋y、x－y、xy当作整体进行代入．中考预测先化简，再求值：a2－b2a÷(2ab－b2a－a)，其中a＝1＋2，b＝1－2.第4课时┃数的开方及二次根式考点聚焦归类探究回归教材考点聚焦归类探究回归教材第4课时┃数的开方及二次根式解：原式＝（a＋b）（a－b）a÷2ab－b2－a2a＝（a＋b）（a－b）a÷－（a－b）2a＝（a＋b）（a－b）a×a－（a－b）2＝－a＋ba－b.当a＝1＋2，b＝1－2时，原式＝－1＋2＋1－21＋2－1＋2＝－222＝－22.