15[1].3.1直线与圆的位置关系(1).讲义学生版

15.3.1直线与圆的位置关系讲义·学生版Page1of11板块考试要求A级要求B级要求C级要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题一、直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离lOdr直线与圆没有公共点．dr直线l与O⊙相离相切lOdr直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．dr直线l与O⊙相切相交lOdr直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．dr直线l与O⊙相交二、切线的性质及判定1.切线的性质（1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则ABl．②过圆心，垂直于切线过切点．AB过圆心，ABl，则AB过切点M．③过切点，垂直于切线过圆心．ABl，AB过切点M，则AB过圆心．知识点睛中考要求直线与圆的位置关系（1）15.3.1直线与圆的位置关系讲义·学生版Page2of11MBOlA2.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．OOOAAAlll3.切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2.多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3.直角三角形内切圆的半径与三边的关系cbacbaOFEDCBACBACBA设a、b、c分别为ABC△中A、B、C的对边，面积为S，则内切圆半径为srp，其中12pabc．若90C，则12rabc．一、直线与圆位置关系的确定例题精讲15.3.1直线与圆的位置关系讲义·学生版Page3of11【例1】如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，45AOB，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OPx，则x的取值范围是A．0≤x≤2B．2≤x≤2C．－1≤x≤1D．x＞2PBOA【例2】RtABC中，90C，3cmAC，4cmBC，给出下列三个结论：①以点C为圆心，3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（）A．0个B．l个C．2个D．3个【巩固】在RtABC中，90C，12cmAC，16cmBC，以点C为圆心，r为半径的圆和AB有怎样的位置关系？为什么？⑴9cmr；⑵10cmr；⑶9.6cmr．DCBA【例3】如下左图，在直角梯形ABCD中，ADBC∥，90C∠，且ABADBC，AB是O的直径，则直线CD与O的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．无法确定OBCDA【巩固】如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上的一点，过点D作O的切线AD，BADA，10BC，4AD，那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是．OEDCBA15.3.1直线与圆的位置关系讲义·学生版Page4of11二、切线的性质及判定【例4】已知：O为BAC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心．以OD为半径作圆O．求证：O⊙与AC相切．ODCBA【巩固】如图，ABC为等腰三角形，ABAC，O是底边BC的中点，O⊙与腰AB相切于点D，求证AC与O⊙相切．ODCBA【例5】已知：如图，ABC内接于O，AD是过A的一条射线，且BCAD．求证：AD是O的切线．ODCBA【巩固】已知：如图，AB是O⊙的直径，C为O⊙上一点，MN过C点，ADMN于D，AC平分DAB．求证：MN为O⊙的切线．OBADCNM15.3.1直线与圆的位置关系讲义·学生版Page5of11【例6】如下图所示，以RtABC的直角边BC为直径作半圆O，交斜边于D，OEAC∥交AB于E，⑴求证：DE是O⊙的切线；OEDCBA【巩固】如下图所示，以RtABC的直角边BC为直径作半圆O，交斜边于D，OEAC∥交AB于E，求证：DE是O⊙的切线．OEDCBA【例7】如图，已知OA是O⊙的半径，B是OA中点，BCOA，P是OA延长线上一点，且PAAC．求证：PC是O⊙的切线．POCBA【巩固】如图，AB是O⊙的直径，C点在圆上，CDAB于D．P在BA延长线上，且PCAACD．求证：PC是O⊙的切线．ODCBAP15.3.1直线与圆的位置关系讲义·学生版Page6of11【例8】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．ABCDO【例9】如图，以等腰ABC中的腰AB为直径作O，交BC于点D．过点D作DEAC，垂足为E．（1）求证：DE为O的切线；（2）若O的半径为5，60BAC，求DE的长．OEDCBA【例10】如图，O⊙是RtABC的外接圆，90ABC，点P是圆外一点，PA切O⊙于点A，且PAPB．（1）求证：PB是O⊙的切线．（2）已知31PABC，，求O⊙的半径．POCBA【例11】如图，AB为O⊙的直径，D是BC的中点，DEAC交AC的延长线于E，O⊙的切线BF交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是O⊙的切线；（2）若3DE，O⊙的半径为5，求BF的长．OCDFABE15.3.1直线与圆的位置关系讲义·学生版Page7of11【例12】已知，如图在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的圆O与ADAC、分别交于点EF、，ACBDCE．（1）判断直线CE与O⊙的位置关系，并证明你的结论；（2）若2tan22ACBBC，，求O⊙的半径．OFDECBA【巩固】如图，已知O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的O⊙与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．（1）求证：CD与O⊙相切．（2）若正方形ABCD的边长为1，求O⊙的半径．OFEMDCBA【例13】已知：在O中，AB是直径，AC是弦，OEAC于点E，过点C作直线FC，使FCAAOE，交AB的延长线于点D．（1）求证：FD是O的切线；（2）设OC与BE相交于点G，若2OG，求O半径的长；（3）在（2）的条件下，当3OE时，求图中阴影部分的面积．FBDEOAC15.3.1直线与圆的位置关系讲义·学生版Page8of11【例14】如图，ABBC，以AB为直径的O⊙交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E．（1）求证：DE是O⊙的切线；（2）作DGAB交O⊙于G，垂足为F，若308AAB，，求弦DG的长．OGFDECBA【巩固】如图，在ABC中，ABBC，以AB为直径的O⊙与AC交于点D，过D作DFBC，交AB的延长线于E，垂足为F．（1）求证：直线DE是O⊙的切线；（2）当58ABAC，时，求cosE的值．OFECDBA【例15】如图，RtABC中，90ABC，以AB为直径作O⊙交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是O⊙的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OFCF，求tanACO的值．FODECBA15.3.1直线与圆的位置关系讲义·学生版Page9of11【巩固】如图，AC为O⊙的直径，B是O⊙外一点，AB交O⊙于E点，过E点作O⊙的切线，交BC于D点，DEDC，作EFAC于F点，交AD于M点．（1）求证：BC是O⊙的切线；（2）EMMF．MFEODCBA【巩固】如图，AB是O⊙的的直径，BCAB于点B，连接OC交O⊙于点E，弦ADOC∥，弦DFAB于点G．（1）求证：点E是BD的中点；（2）求证：CD是O⊙的切线；（3）若4sin5BAD，O⊙的半径为5，求DF的长．OFGEDCBA【例16】如图，AB是O的直径，30BAC，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且ECFE．（1）证明CF是O的切线；（2）设O的半径为1，且ACCE，求MO的长．OEFNAMBC15.3.1直线与圆的位置关系讲义·学生版Page10of11【巩固】如图，A是以BC为直径的O上一点，ADBC于点D，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点EG，是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BFEF；（2）求证：PA是O的切线；（3）若FGBF，且O的半径长为32，求BD和FG的长度．GPFEODCBA1.已知60ABC，点O在ABC的平分线上，5cmOB，以O为圆心3cm为半径作圆，则O与BC的位置关系是________．2.如图，半径为3cm的O⊙切直线AC于B，3cm3cmABBC，，则AOC的度数是．OCBA3.如图所示在RtABC中，90B，A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DEDC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆．求证：（1）AC是D⊙的切线；（2）ABEBAC．EDCBA课后作业15.3.1直线与圆的位置关系讲义·学生版Page11of114.已知：如图，C为O⊙上一点，DA交O⊙于B，连结ACBC、，且DCBCAB．求证：（1）DC为O⊙的切线；（2）2CDADBD．ODCBA5.如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE．（1）求证：AE是O的切线；（2）若301cmDBCDE，，求BD的长．ABCDEO6.如图，等腰三角形ABC中，10ACBC，12AB．以BC为直径作O⊙交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是O⊙的切线；（2）求sinE的值．GDAOFECB7.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB．⑴试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；⑵试判断线段ACADBC、、之间的数量关系，并说明理由；⑶若8cm10cmABBC，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．ODCBA