高等数学公式(一元函数部分)

四川大学数学学院徐小湛[e-mail]20111高等数学公式（一元函数部分）四川大学数学学院徐小湛[e-mail]20112目录第一章函数与极限第一节集合、映射与函数第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷小与无穷大第五节连续性第二章导数与微分第一节导数及求导法则第二节高阶导数第三节微分第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理第二节洛必达法则第三节泰勒公式第四节导数的应用导数的应用一曲线的切线和法线导数的应用二函数的单调性导数的应用三函数的极值和最值导数的应用四曲线的凹凸性和拐点导数的应用五曲线的渐近线导数的应用六曲线的曲率第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质原函数不定积分不定积分公式第二节不定积分的换元积分法第一类换元法(凑微分法)第二类换元法第三节不定积分的分部积分法第五章定积分第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法和分部积分法第四节反常积分第六章定积分的应用第一节定积分的几何应用平面图形的面积体积旋转体的体积弧长旋转曲面的面积第二节定积分的物理应用变力做功抽水做功水压力索引四川大学数学学院徐小湛[e-mail]20113第一章函数与极限第一节集合、映射与函数邻域的概念点0x的邻域：000000(,){|}{|}(,)Uxxxxxxxxxx0x0x0xx0x0x0xx几个重要的分段函数绝对值函数,0,0xxyxxx当当性质：00xxxxxxOOyxyx符号函数10sgn0010xyxxx当当当符号函数与绝对值函数的关系：(1)sgnsgn(2)sgn(0)(3)sgn(0)xxxxxxxxxxdxxxdx或符号函数的性质：(1)0sgn1(2)0sgn1(3)sgn()1xxxxxaxa()1fx()1fx(0)0f()sgnfxx四川大学数学学院徐小湛[e-mail]20114取整函数()fxx=小于或等于x的最大整数xxn1nxxn1n[]x是x左边的第一个整数(向左取整)。()fxx是分段函数：(),1(0,1,2,...)fxxnnxnn取整函数的性质：(1)1()xxxxR(2)xxx是整数的充要条件是()fxx狄利克雷(Dirichlet)函数1,()0,xDxx当是有理数当是无理数Dirichlet函数有很多“糟糕”的性质首先，它没有具体的表达式。其次，它没有图形：我们无法作出它的图形，它的图形是处处间断的。又，它是没有最小正周期的周期函数：每一个有理数都是函数的周期。德国数学家狄利克雷PeterDirichlet1805~1859基本初等函数：以下五类函数称为基本初等函数：(1)幂函数、(2)指数函数、(3)对数函数、(4)三角函数、(5)反三角函数(1)幂函数(Powerfunction)yx(R)常见的幂函数：2331,,,,,yxyxyxyyxyxx四川大学数学学院徐小湛[e-mail]20115yx2yxyx3yx3yx1yx(2)指数函数(Exponentialfunction)(0,1)xyaaa(1)axya(01)axya常见的指数函数：,2,10xxxyeyy四川大学数学学院徐小湛[e-mail]20116(3)对数函数(Logarithmicfunction)log(0,1)ayxaa(1)a(01)alogayxlogayx常见的对数函数：lnlogeyxx(自然对数)10lglogyxx(常用对数)2logyx四川大学数学学院徐小湛[e-mail]20117lnyx(4)三角函数(Trigonometricfunction)正弦sinyx(,)[1,1]2定义域：值域：奇偶性：奇函数周期：余弦cosyx(,)[1,1]2定义域：值域：奇偶性：偶函数周期：正切sintancosxyxx(,)22(0,1,2,...)(,)kkk定义域：值域：奇偶性：奇函数周期：四川大学数学学院徐小湛[e-mail]20118余切cos1cotsintanxyxxx(,(1))(0,1,2,...)(,)kkk定义域：值域：奇偶性：奇函数周期：正割1seccosyxx(,)22(0,1,2,...)(,1][1,)2kkk定义域：值域：奇偶性：偶函数周期：余割1cscsinyxx(,(1))(0,1,2,...)(,1][1,)2kkk定义域：值域：奇偶性：奇函数周期：(5)反三角函数(Inversetrigonometricfunction)反正弦arcsinyx[1,1][,]22arcsin2x定义域：值域：奇偶性：奇函数单调性：单增有界性：四川大学数学学院徐小湛[e-mail]20119反余弦arccosyx[1,1][0,]0arccosx定义域：值域：单调性：单减有界性：反正切arctanyx(,)(,)22arctan2x定义域：值域：奇偶性：奇函数单调性：单增有界性：反余切arccotyx(,)(0,)0arccotx定义域：值域：单调性：单减有界性：初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和复合，并且能用一个公式表示的函数。四川大学数学学院徐小湛[e-mail]201110双曲函数(Hyperbolicfunction)双曲正弦(Hyperbolicsine)sinhsh2xxeeyxx(,)(,)定义域：值域：奇偶性：奇函数单调性：单增双曲余弦(Hyperboliccosine)coshch2xxeeyxx(,)[1,)定义域：值域：奇偶性：偶函数双曲正切(Hyperbolictangent)shtanhthchxxxxxeeyxxxee(,)(1,1)tanh1x定义域：值域：奇偶性：奇函数单调性：单增有界性：四川大学数学学院徐小湛[e-mail]201111反双曲函数(Inversehyperbolicfunction)反双曲正弦2arshln(1)yxxx(,)(,)定义域：值域：奇偶性：奇函数单调性：单增反双曲余弦2archln(1)yxxx[1,)[0,)定义域：值域：单调性：单增反双曲正切11arthln21xyxx(1,1)(,)定义域：值域：奇偶性：奇函数单调性：单增返回目录四川大学数学学院徐小湛[e-mail]201112第二节数列的极限数列的概念数列：{}nx：123,,,...,,...nxxxx数列{}nx可以看成一个定义在自然数集N上的函数，称为整标函数：()nnxfn(nN)数列的单调性单增数列{}nx：1231......nnxxxxx单减数列{}nx：1231......nnxxxxx数列的有界性有界数列{}nx：0M，使得nxM(nN)。无界数列{}nx：0M，0nN，使得0nxM。数列{}nx无界的充分必要条件是存在趋于无穷大的子数列{}knx：limknkx数列有界性的等价定义数列{}nx有界的充要条件是：,()ABAB，使得nAxB(nN)。A和B分称为数列的下界和上界。（数列有界当且仅当它既有上界，又有下界。）数列的极限数列极限的定义数列极限的直观定义：limnnxa是指：当n无限增大(n)时，一般项nx无限地趋于数a(nxa)。数列极限的严格定义(N定义)：limnnxa是指：对于任意给定的0，总存在正整数N，使得当nN时，不等式nxa都成立。即lim(0,,)nnnxaNnNxa四川大学数学学院徐小湛[e-mail]201113一些重要的数列极限数列极限说明lim0nnq(1q)limnnq(1q)此结论常用。例如，1lim02nn例如，lim2nn。1lim0knn(0k)limknn(0k)例如，21lim0nn，limnn。lim1nna(0a)常用，0lim1xxa的特例。lim1nnn(0a)常用，1lim1xxx的特例。lim0knnna(1a，0k)此极限说明na是kn的高阶无穷大。例如，3lim0nnne。lim0!nnan(1a)此极限说明!n是na的高阶无穷大。例如，lim0!nnen。!lim0nnnn此极限说明nn是!n的高阶无穷大。1lim0!nnn本科不作要求。lim!nnnen本科不作要求。1lim(1)nnen重要极限，e的定义。111lim(1...)1!2!!nene的无穷级数展开式。111lim(1...)23nn调和级数发散。111lim(1...ln)23nnCn欧拉常数0.5772156649...C。四川大学数学学院徐小湛[e-mail]201114*施笃兹定理施笃兹定理设数列若{}ny单调增加且limnny，若11limnnnnnxxyy存在，则11limlimnnnnnnnnxxxyyy施笃兹定理可以用来计算一些难度较大的数列极限limnnnxy(型)。由施笃兹定理可以得到的一些极限(1)若limnnx存在，则12...limlimnnnnxxxxn。前n项的算术平均值的极限等于数列的极限。(2)若limnnx存在(0nx)，则12lim...limnnnnnxxxx。前n项的几何平均值的极限等于数列的极限。(3)若1limnnnxx存在(0nx)，则1limlimnnnnnnxxx。OttoStolz施笃兹1842-1905奥地利数学家收敛数列的性质数列极限的性质说明唯一性若数列{}nx收敛，则其极限是唯一的。极限存在必唯一。有界性若数列{}nx收敛，则{}nx是有界数列。收敛数列必有界。例如，1{}n收敛，因此它是有界的。若数列{}nx无界，则{}nx发散。无界数列必发散。例如，{}n无界，因此它是发散的。若数列{}nx有界，则{}nx不一定收敛。有界数列不一定收敛。反例：数列{(1)}n有界，但它不收敛。保号性若lim0nnxa(或0a)，则存在N，使得当nN时，都有0nx(或0nx)。收敛于正数(或负数)的数列最终将成为正的(或负的)数列(最多有有限项例外)。数列与子数列的敛散性关系若数列{}nx收敛于a，则它的任何子数列{}knx也收敛于a。整体收敛，部分收敛。四川大学数学学院徐小湛[e-mail]201115若数列{}nx有一个发散的子数列{}knx，则{}nx也发散。部分发散，整体发散。若数列{}nx有两个子数列收敛于不同的极限，则{}nx也发散。例如，数列{(1)}n有两个子数列21