高等数学同济第七版上册课后习题答案

习题1-11.求下列函数的自然定义域：2(1)32;1(3)1;(5)sin;(7)arcsin(3);(9)ln(1);yxyxxyxyxyx2211(2);11(4);4(6)tan(1);1(8)3arctan;(10).xeyxyxyxyxxye解：2(1)3203xx，即定义域为2,32(2)101,xx即定义域为(,1)(1,1)(1,)(3)0x且2100xx且1x即定义域为1,00,12(4)402xx即定义域为(2,2)(5)0,x即定义域为0,(6)1(),2xkkZ即定义域为1()1,2xxRxkkZ且(7)3124,xx即定义域为2,4(8)30x且0x，即定义域为(,0)0,3(9)101xx即定义域为(1,)(10)0,x即定义域为(,0)(0,)2.下列各题中，函数()fx和()gx是否相同？为什么？22433322(1)()lg,()2lg(2)(),()(3)()(),()1(4)()1,()sectanfxxgxxfxxgxxfxxxgxxxfxgxxx解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，2,0(),0xxgxxxx（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin,3()0,3xxxx求(),(),(),(2),644并指出函数()yx的图形解：12()sin,()sin,6624422()sin(),(2)0,442()yx的图形如图11所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln,(0,)xyxyxx证明：1(1)()1,(,1)11xyfxxx设121xx，因为212112()()0(1)(1)xxfxfxxx所以21()(),fxfx即()fx在(,1)内单调增加(2)()ln,(0,)yfxxx设120xx，因为221211()()ln0xfxfxxxx所以21()()fxfx即()fx在(0,)内单调增加5.设()fx为定义在(,)ll内的奇函数，若()fx在(0,)l内单调增加，证明()fx在(,0)l内也单调增加证明：设120lxx，则210xxl由()fx是奇函数，得2121()()()()fxfxfxfx因为()fx在(0,)l内单调增加，所以12()()0fxfx即()fx在(,0)l内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)ll上的。证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明：(1)设12(),()fxfx均为偶数，则1122()(),()()fxfxfxfx令12()()()Fxfxfx于是1212()()()()()()FxfxfxfxfxFx故()Fx为偶函数设12(),()gxgx均为奇函数，则1122()(),()()gxgxgxgx令12()()()Gxgxgx于是1212()()()()()()GxgxgxgxgxGx故()Gx为奇函数(2)设12(),()fxfx均为偶数，则1122()(),()()fxfxfxfx令12()()()Fxfxfx于是1212()()()()()()FxfxfxfxfxFx故()Fx为偶函数设12(),()gxgx均为奇函数，则1122()(),()()gxgxgxgx令12()()()Gxgxgx于是121212()()()()()()()()GxgxgxgxgxgxgxGx故()Gx为偶函数设()fx为偶函数，()gx为奇函数，则()(),()()fxfxgxgx令()()()Hxfxgx于是()()()()()()()()HxfxgxfxgxfxgxHx故()Hx为奇函数7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？2222(1)(1);1(3);1(5)sincos1;yxxxyxyxx23(2)3;(4)(1)(1);(6)2xxyxxyxxxaay解：（1）因为2222()()1()(1)()fxxxxxfx所以()fx为偶函数（2）因为2323()3()()3fxxxxx()(),fxfx且()()fxfx所以()fx既非偶函数又非奇函数（3）因为22221()1()()1()1xxfxfxxx所以()fx为偶函数（4）因为()(1)(1)()fxxxxfx所以()fx奇函数（5）因为()sin()cos()1sincos1,fxxxxx()()fxfx且()()fxfx所以()fx既非偶函数又非奇函数（6）因为()()2xxaafxfx所以()fx为偶函数8.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期2(1)cos(2);(3)1sin;(5)sinyxyxyx(2)cos4;(4)cos;yxyxx解：（1）是周期函数，周期2l（2）是周期函数，周期2l（3）是周期函数，周期2l（4）不是周期函数（5）是周期函数，周期l9.求下列函数的反函数3(1)1;(3)(0);(5)1ln(2);yxaxbyadbccxdyx1(2);1(4)2sin3();662(6)21xxxyxyxxy解：（1）由31yx解得31xy，既反函数为31yx（2）由11xyx解得11yxy，既反函数为11xyx（3）由axbycxd解得dybxcya，既反函数为dxbycxa（4）由2sin3()66yxx解得1arcsin32yx，既反函数为1arcsin32xy（5）由1ln(2)yx解得log1yxy，既反函数为log1xyx（6）由221xxy解得2log1yxy，既反函数为2log1xyx10.设函数()fx在数集X上有定义，试证：函数()fx在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界解：设()fx在X上有界，既存在0M，使得(),,fxMxX故(),,MfxMxX既()fxX上有上界M，下界M反之，设()fx在X上有上界1K，下界2K，即21(),KfxKxX取12max,MKK，则有(),fxMxX即()fx在X上有界11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x和2x的函数值21212212212212(1),sin,,;63(2)sin,2,,;84(3),1,1,2;(4),,0,1;(5),,1,1uxyuuxxxyuuxxxyuuxxxyeuxxxyuuexx解：221212212122221213(1)sin,,442(2)sin2,,12(3)1,2,5(4),1,(5),,xxyxyyyxyyyxyyyeyyeyeyeye12.设的定义域0,1D，求下列各函数的定义域：2(1)();(3)()(0);fxfxaa(2)(sin)(4)()()(0)fxfxafxaa解：2(1)011,1(2)0sin12,(21),(3)01,1xxxxnnnZxaxaa01(4)01xaxa当102a时，,1xaa；当12a时定义域为13.设1,1()0,1,()1,1xxfxxgxex求()fgx和()gfx，并作出这两个函数的图形解：1,0()()0,01,0xxfgxfexx()1,1()1,1,1fxexgfxexex()fgx与()gfx的图形依次如图12，图13所示14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40（图1-4）.当过水断面ABCD的面积为定值0S时，求湿周()LLABBCCD与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域解：sin40hABCD又01(2cot40)2ShBCBCh得0cot40SBChh所以02cos40sin40SLhh而0h且0cot400Shh，因此湿周函数的定义域为0(0,tan40)S15.设xOy平面上有正方形(,)01,01Dxyxy及直线:(0)lxytt若()St表示正方形D位于直线左下方部分的面积，试求()St与t之间的函数关系解：当01t时，21()2Stt当12t时，2211()1(2)2122Stttt当2t时，()St1故221,012121,1221,2tttttt16.求联系华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公式，并求（1）90F的等价摄氏温度和5C的等价华氏温度；（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？解：设,FmCb其中,mb均为常数因为32F相当于0,212CF相当于100C，所以2123232,1.8100bm故1.832FC或5(32)9CF5(1)90,(32)32.295,1.8(5)3223FCFCF(2)设温度值t符合题意，则有1.82,40ttt即华氏40恰好也是摄氏4017.已知RtABC中，直角边ACBC，的长度分别为2015，，动点P从C出发，沿三角形边界按CBA方向移动；动点Q从C出发，沿三角边界按CAB方向移动，移动到两动点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍.设动点P移动的距离为x，CPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系.解：因为20,15,ACBC所以,22201525AB由202152025可知，点,PQ在斜边AB上相遇令2152025xx得20x，即当20x时，点,PQ相遇，因此所求函数的定义域为(0,20)（1）当010x时，点P在CB上，点Q在CA上（图1-5）由,2CPxCQx，得2yx（2）当1015x时点P在CB上点Q在AB上（图1-6）,220CPxAQx设点Q到BC的距离为h，则452,202525BQhx得4(452)5hx，故2124(452)18255yxhxxxx（3）当1520x时点,PQ都在AB上（图1-7）15,220,603BPxAQxPQx设点C到AB的距离为h，则15201225h得1183602yPQhx综上可得22,010418,1015518360,1520xxxxxxx18.利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据以及指数模型来推测2020年的世界人口解：