高等数学同济第五版第9章答案

习题911设有一平面薄板(不计其厚度)占有xOy面上的闭区域D薄板上分布有密度为(x,y)的电荷且(x,y)在D上连续试用二重积分表达该板上全部电荷Q解板上的全部电荷应等于电荷的面密度(x,y)在该板所占闭区域D上的二重积分DdyxQ),(2设13221)(DdyxI其中D1{(xy)|x12y2又23222)(DdyxI其中D2{(xy)|0x10y2}试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系解I1表示由曲面z(x2y2)3与平面x1y2以及z0围成的立体V的体积I2表示由曲面z(x2y2)3与平面x0x1y0y2以及z0围成的立体V1的体积显然立体V关于yOz面、xOz面对称因此V1是V位于第一卦限中的部分故V4V1即I14I23利用二重积分的定义证明(1)Dd(其中为D的面积)证明由二重积分的定义可知Dniiiifdyxf10),(lim),(其中i表示第i个小闭区域的面积此处f(x,y)1,因而f()1,所以010limlimDniid(2)DDdyxfkdyxkf),(),((其中k为常数)证明niiiiDniiiifkkfdyxkf1010),(lim),(lim),(Dniiiidyxfkfk),(),(lim10(3)21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf其中DD1D2D1、D2为两个无公共内点的闭区域证明将D1和D2分别任意分为n1和n2个小闭区域1i和2i,n1n2n,作和2222211111111),(),(),(niiiiniiiiniiiifff令各1i和2i的直径中最大值分别为1和2,又max(12),则有niiiif10),(lim2222221111111010),(lim),(limniiiiniiiiff即21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf4根据二重积分的性质比较下列积分大小(1)Ddyx2)(与,Ddyx3)(其中积分区域D是由x轴y轴与直线xy1所围成解区域D为D{(xy)|0x0yxy1}因此当(xy)D时有(xy)3(xy)2从而Ddyx3)(Ddyx2)((2)Ddyx2)(与Ddyx3)(其中积分区域D是由圆周(x2)2(y1)22所围成解区域D如图所示由于D位于直线xy1的上方所以当(xy)D时xy1从而(xy)3(xy)2因而DDdyxdyx32)()((3)Ddyx)ln(与Ddyx3)(其中D是三角形闭区域三角顶点分别为(10),(11),(20)解区域D如图所示显然当(xy)D时1xy2从而0ln(xy)1故有[ln(xy)]2ln(xy)因而DDdyxdyx)ln()][ln(2(4)Ddyx)ln(与Ddyx3)(其中D{(xy)|3x50y1}解区域D如图所示显然D位于直线xye的上方故当(xy)D时,xye从而ln(xy)1因而[ln(xy)]2ln(xy),故DDdyxdyx2)][ln()ln(5利用二重积分的性质估计下列积分的值(1)DdyxxyI)(其中D{(xy)|0x10y1}解因为在区域D上0x10y1所以0xy1,0xy2进一步可得0xy(xy)2于是DDDddyxxyd2)(0即Ddyxxy2)(0(2)DydxI22sinsin,其中D{(xy)|0x0y}解因为0sin2x10sin2y1所以0sin2xsin2y1于是可得DDDdydxd1sinsin022即Dydx222sinsin0(3)DdyxI)1(,其中D{(xy)|0x10y2}解因为在区域D上0x10y2所以1xy14于是可得DDDddyxd4)1(即Ddyx8)1(2DdyxI)94(22,其中D{(xy)|x2y24}解在D上因为0x2y24所以9x24y294(x2y2)925于是DDDddyxd25)94(922Ddyx2222225)94(29即Ddyx100)94(3622习题921计算下列二重积分(1)dyxD)(22其中D{(xy)||x|1|y|1}解积分区域可表示为D1x11y1于是dyxD)(22ydyxdx111122)(xdyyx111132]31[xdx112)312(113]3232[xx38(2)dyxD)23(其中D是由两坐标轴及直线xy2所围成的闭区域解积分区域可表示为D0x20y2x于是dyxD)23(ydyxdxx2020)23(dxyxyx20022]3[dxxx202)224(0232]324[xxx320(3)dyyxxD)3(223其中D{(xy)|0x10y1}解dyyxxD)3(2231032310)3(dxyyxxdy1001334]4[dyxyyxx103)41(dyyy0142]424[yyy1412141(4)dyxxD)cos(其中D是顶点分别为(00)(0)和()的三角形闭区域解积分区域可表示为D0x0yx于是dyxxD)cos(xdyyxxdx00)cos(00)][sin(dxyxxx0)sin2(sindxxxx0)cos2cos21(xxxd0|)cos2cos21(xxxdxxx0)cos2cos21(232画出积分区域并计算下列二重积分(1)dyxD其中D是由两条抛物线xy2xy所围成的闭区域解积分区域图如并且D{(xy)|0x1xyx2}于是dyxD102dyyxdxxx10223]32[dxyxxx556)3232(10447dxxx(2)dxyD2其中D是由圆周x2y24及y轴所围成的右半闭区域解积分区域图如并且D{(xy)|2y2240yx}于是22402240222222]21[dyyxdxxydydxyyyD1564]10132[)212(22225342yydyyy(3)deyxD其中D{(xy)||x||y|1}解积分区域图如并且D{(xy)|1x0x1yx1}{(xy)|0x1x1yx1}于是11101101xxyxxxyxyxDdyedxedyedxede10110111][][dyeedxeexxyxxxyx101201112)()(dxeedxeexx101201112]21[]21[xxeexxeeee1(4)dxyxD)(22其中D是由直线y2yx及y2x轴所围成的闭区域解积分区域图如并且D{(xy)|0y2yxy21}于是2022232222022]2131[)()(dyxxyxdxxyxdydxyxyyyyD613)832419(2023dyyy3如果二重积分dxdyyxfD),(的被积函数f(xy)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积即f(xy)f1(x)f2(y)积分区域D{(xy)|axbcyd}证明这个二重积分等于两个单积分的乘积即])([])([)()(2121dyyfdxxfdxdyyfxfdcbaD证明dxdyyfxfdyyfxfdxdxdyyfxfdcbadcbaD])()([)()()()(212121而dcdcdyyfxfdyyfxf)()()()(2121故dxdyyfxfdxdyyfxfbadcD])()([)()(2121由于dcdyyf)(2的值是一常数因而可提到积分号的外面于是得])([])([)()(2121dyyfdxxfdxdyyfxfdcbaD4化二重积分dyxfID),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)其中积分区域D是(1)由直线yx及抛物线y24x所围成的闭区域解积分区域如图所示并且D{(xy)|xyxx2,40}或D{(xy)|yxyy241,40}所以xxdyyxfdxI240),(或yydxyxfdyI4402),((2)由x轴及半圆周x2y2r2(y0)所围成的闭区域解积分区域如图所示并且D{(xy)|220,xryrxr}或D{(xy)|2222,0yrxyrry}所以220),(xrrrdyyxfdxI或2222),(0yryrrdxyxfdyI(3)由直线yxx2及双曲线xy1(x0)所围成的闭区域解积分区域如图所示并且D{(xy)|xyxx1,21}或D{(xy)|21,121xyy}{(xy)|2,21xyy}所以xxdyyxfdxI1),(21或22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdyI(4)环形闭区域{(xy)|1x2y24}解如图所示用直线x1和x1可将积分区域D分成四部分分别记做D1D2D3D4于是dyxfdyxfdyxfdyxfIDDDD),(),(),(),(4321222244411112),(),(xxxxdyyxfdxdyyxfdx222214442111),(),(xxxxdyyxfdxdyyxfdx用直线y1和y1可将积分区域D分成四部分分别记做D1D2D3D4如图所示于是dyxfdyxfdyxfdyxfIDDDD),(),(),(),(4321222244141121),(),(yyyydxyxfdydxyxfdy222241441211),(),(