高等数学同济第六版上试题

大一上学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1..（A）（B）（C）（D）不可导.2..（A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小.3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。4.（A）（B）（C）（D）.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5..6..7..8..三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.设函数由方程确定，求以及.10.)(0),sin(cos)(　处有则在设xxxxxf(0)2f(0)1f(0)0f()fx　）时（　，则当，设133)(11)(3xxxxxx()()xx与()()xx与()x()x()x()x()()()02xFxtxftdt()fx(1,1)()0fx()Fx0x()Fx0x()Fx0x(0,(0))F()yFx()Fx0x(0,(0))F()yFx)()(,)(2)()(10xfdttfxxfxf则是连续函数，且设22x222x1x2xxxxsin20)31(lim,)(cos的一个原函数是已知xfxxxxxxfdcos)(则lim(coscoscos)22221nnnnnn21212211arcsin－dxxxx()yyxsin()1xyexy()yx(0)y.d)1(177xxxx求11.12.设函数连续，，且，为常数.求并讨论在处的连续性.13.求微分方程满足的解.四、解答题（本大题10分）14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5..6..7..8..三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导．　求，，　　设132)(1020)(dxxfxxxxxexfx)(xf10()()gxfxtdt0()limxfxAxA()gx()gx0x2lnxyyxx1(1)9y)0()(xxyy(,)01Mxy(,)00xyxx0xylnxyln)(xf0,1[,]01q100()()qfxdxqfxdx)(xf,00)(0xdxf0cos)(0dxxxf,021,.0)()(21ffxdxxfxF0)()(6ecxx2)cos(21　23(1)cos()()0xyeyxyxyy，10.解：11.解：12.解：由，知。，在处连续。13.解：，四、解答题（本大题10分）cos()()cos()xyxyeyxyyxexxy0,0xy(0)1y767uxxdxdu　　1(1)112()7(1)71ududuuuuu原式1(ln||2ln|1|)7uuc7712ln||ln|1|77xxC1012330()2xfxdxxedxxxdx01230()1(1)xxdexdx00232cos(1sin)xxxeedx　令3214e(0)0f(0)0g100()()()xxtufudugxfxtdtx(0)x02()()()(0)xxfxfudugxxx0200()()A(0)limlim22xxxfudufxgxx0200()()lim()lim22xxxxfxfuduAAgxAx()gx0x2lndyyxdxx22(ln)dxdxxxyeexdxC211ln39xxxCx1(1),09yC11ln39yxxx14.解：由已知且，将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分）15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16.证明：故有：证毕。17.证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在02dxyyxyxyyy2022rr.2,121rrxxeCeCy221yy()()00131,3221CCxxeey23132)ln,(00xx)(1ln000xxxxyex0xey110121)(edyeyeAy2131eVxyln1022)(dyeeVy)3125(6221eeVVV100()()qfxdxqfxdx100()(()())qqqfxdxqfxdxfxdx10(1)()()qqqfxdxqfxdx1212[0,][,1]()()12(1)()(1)()0qqffqqfqqf100()()qfxdxqfxdxxdttfxFx0,)()(0],0[),0(上可导。，且由题设，有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及，即.)()(xfxF0)()0(FF0000)(sincos)()(coscos)(0|dxxFxxxFxxdFxdxxf00sin)(xdxxF),0(0sin)(F0)(F),0(,0)()()0(FFF],[,],0[),0(1),(20)(1F0)(2F0)()(21ff大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________１１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋──────的定义域为_________√１－ｘ2_______________。２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→oh＝_____________。４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。x→∞Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。_______R√R2－ｘ2８．累次积分∫ｄｘ∫ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。00ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程───＋──（───）2的阶数为____________。ｄｘ3ｘｄｘ2∞∞１０．设级数∑ａn发散，则级数∑ａn_______________。n=1n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－──②１＋──③────④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（X）在X＝Xo连续，则ｆ（X）在X＝Xo可导②若ｆ（X）在X＝Xo不可导，则ｆ（X）在X＝Xo不连续③若ｆ（X）在X＝Xo不可微，则ｆ（X）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（X）在X＝Xo不连续，则ｆ（X）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x)＝Ｇ'(x)，则（）①Ｆ(X)＋Ｇ(X)为常数②Ｆ(X)－Ｇ(X)为常数③Ｆ(X)－Ｇ(X)＝０ｄｄ④──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫│ｘ│ｄｘ＝（）-1①０②１③２④３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ──，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ─────＝ｐ，则级数∑ａn（）n→∞ａn=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在X＝Xo的左右导数存在且相等是ｆ（X）在X＝Xo可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１x１６．ｌｉｍ───∫３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0ｘ30１①０②１③──④∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ─────＝（）x→0ｘ2＋ｙ2y→0①０②１③∞④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）①设ｙ'＝ｐ，则ｙ＝ｐ'ｄｐ②设ｙ'＝ｐ，则ｙ＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④设ｙ'＝ｐ，则ｙ＝─────ｐｄｙ∞∞１９．设幂级数∑ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=on=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫─────ｄσ＝（）Dｘ11ｓｉｎｘ①∫ｄｘ∫─────ｄｙ0xｘ__1√yｓｉｎｘ②∫ｄｙ∫─────ｄｘ0yｘ__1√xｓｉｎｘ③∫ｄｘ∫─────ｄｙ0xｘ__1√xｓｉｎｘ④∫ｄｙ∫─────ｄｘ0xｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／──────求ｙ'。√ｘ（ｘ＋３）ｓｉｎ（９ｘ2－１６）２．求ｌｉｍ───────────。x→4/3３ｘ－４ｄｘ３．计算∫────