集合的基本关系及运算

集合的基本关系及运算编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：AB(BA)或，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：AB(BA)或要点诠释：（1）“A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是B的元素，即由任意的xA，能推出xB．（2）当A不是B的子集时，我们记作“AB(或BA)”，读作：“A不包含于B”（或“B不包含A”）．真子集：若集合AB，存在元素xB且xA，则称集合A是集合B的真子集(propersubset).记作：AB(或BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系ABBA且，则A与B中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作AA．要点二、集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn图表示：要点诠释：（1）“xA，或xB”包含三种情况：“,xAxB但”；“,xBxA但”；“,xAxB且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AB．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset)，简称为集合A的补集，记作：UUAA={x|xUxA}；即且；痧补集的Venn图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集UAð是对给定的集合A和()UAU相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集．（3）UAð表示U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合（如R）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即RAð）．4.集合基本运算的一些结论ABAABBAA=AA=AB=BA，，，，AABBABAA=AA=AAB=BA，，，，UU(A)A=U(A)A=，痧若A∩B=A，则AB，反之也成立若A∪B=B，则AB，反之也成立若x(A∩B)，则xA且xB若x(A∪B)，则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一、集合间的关系例1.集合|2,AaakkN，集合21|1(1)(1),8nBbbnnN，那么,AB间的关系是（）.A.ABB.BAC.A=BD.以上都不对【答案】B【解析】先用列举法表示集合A、B，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A是非负偶数集，即0,2,4,6,8,A.集合B中的元素211(1)(1)8nbn0()1(1)(1)()4nnnn为非负偶数时，为正奇数时.而1(1)(1)4nn（n为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即1,3,5,7,n.由1(1)(1)4nn依次得0,2,6,12，，即0261220B，，，，，.综上知，BA，应选B.【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.举一反三：【变式1】若集合|21,,|41,AxxkkzBxxllz，则（）.A.ABB.BAC.A=BD.ABZ【答案】C例2.写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.举一反三：【变式1】已知,abA,,,,abcde，则这样的集合A有个.【答案】7个【变式2】同时满足：①1,2,3,4,5M；②aM，则6aM的非空集合M有（）A.16个B.15个C.7个D.6个【答案】C【解析】3a时，63a；1a时，65a；2a时，64a；4a时，62a；5a时，61a；非空集合M可能是：3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5，1,2,3,4,5共7个.故选C.例3．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？【答案】以上四个集合都不相同【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=(,)；集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=[1,)；集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1．【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．举一反三：【变式1】设集合{(,)|34}Mxyyx，{(,)|32}Nxyyx，则MN（）A.{1,1}B.{1,1}xyC.(1,1)D.{(1,1)}【答案】D【解析】排除法：集合M、N都是点集，因此MN只能是点集，而选项A表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C表示区间(1,1)（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D．【变式2】设集合{|21,}MxyxxZ，{|21,}NyyxxZ，则M与N的关系是（）A.NMÜB.MNÜC.NMD.NM【答案】A【解析】集合M表示函数21,yxxZ的定义域，有{}M整数；集合N表示函数21,yxxZ的值域，有{}N奇数，故选A.【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430例2】【变式3】设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足()A.M=NB.MNC.NMD.M∩N=【答案】B【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430例3】例4．已知},,,0{},,,{yxNyxxyxM若M=N，则2()(xyx)()1001002yxy=．A．－200B．200C．－100D．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．【答案】D【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O{0，|x|，y}可知O{x,xy,x-y}若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy≠0若0x-y=，则x=y，M，N可写为M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=±1当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故x≠1当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-12()(xyx)()1001002yxy=-2+2-2+2+…+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．举一反三：【变式1】设a，bR，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=()【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：b1{0,,b},0{1,a+b,a}a0ab=0a，又，∴当b=1时，a=-1，b{0,b}={0,-1,1}a，当b=1a时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.类型二、集合的运算例5.设集合|3,,|31,AxxkkZByykkZ，|32,CzzkkZ，|61,DwwkkZ，求,,,ABACBCBD.【答案】ABACBC,BDD【解析】先将集合A、B、C、D转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.集合|3,AxxkkZ表示3的倍数所组成的集合；集合|31,BxxkkZ表示除以3余1的整数所组成的集合；集合|32,CxxkkZ表示除以3余2的整数所组成的集合；集合|61,DxxkkZ表示除以6余1的整数所组成的集合；ABACBC,BDD.【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似