二次函数的图像与性质讲义

中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教务管理部1龙文教育学科教师辅导讲义课题二次函数cbxaxy2的图象与性质教学目标1.通过实例引出二次函数的概念；2.借助图像归纳二次函数的性质并加以直观描述；3.学会数形结合的方法解决数学问题教学重点二次函数cbxaxy2的图象与性质教学难点灵活运用二次函数的图像与性质解决问题教学内容知识点归纳：1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax2(a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大．（2）二次函数cbxaxy2的图象是一条对称轴平行y轴或者与y轴重合的抛物线．顶点为（－2ba，244acba），对称轴x=－2ba；当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－2ba，y随x的增大而增大，x＜－2ba，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞－2ba，y随x的增大而减小，x＜－2ba，y随x的增大而增大．（3）当a＞0时，当x=－2ba时，函数有最小值244acba；当a＜0时，当x=－2ba时，函数有最大值244acba中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教务管理部23、图象的平移：将二次函数y=ax2(a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋c，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2＋k的图象．⑴将y=ax2的图象向上(c＞0）或向下(c0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是（0,c）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．⑵将y=ax2的图象向左（h0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x－h)2的图象．其顶点是（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．⑶将y=ax2的图象向左（h0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x－h)2+k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．记住规律：左加右减，上加下减4、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay典型例题：例1、二次函数y=ax2＋bx2＋c的图象如图所示，则a0，b0，c0（填“＞”或“＜”＝．）例2、二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（）例3、在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=xb的图象大致是图中的（）例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x2＋0．9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教务管理部3例5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2＋（a＋c）x＋c与一次函数y=ax＋c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）例6、抛物线y=ax2＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是．例7、已知二次函数y=（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5）（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．例8、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？训练题A：1．抛物线y=－2x2＋6x－1的顶点坐标为，对称轴为．2．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c的大致图象为（）3．已知二次函数y=41x2－25x＋6，当x=时，y最小=；当x时，y随x的增大而减小．4．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教务管理部4．5．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ac0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。6．已知点（－1，y1）、（－321，y2）、（21，y3）在函数y=3x2＋6x＋12的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y27．二次函数y=－x2＋bx＋c的图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（）A．b=2，c=4B．b=2，c=－4C．b=－2，c=4D．b=－2，c=－48．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（）A．abc＞0B．a＋b＋c＜0C．b＜a＋cD．2c＜3b9．函数y=ax2＋bx＋c和y=ax＋b在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（）10．已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A（4，2）和B（5，7）．且过点C(0,3)（1）求抛物线的表达式；（2）用描点法画出这条抛物线．11．如图，已知二次函数y=21x2＋bx＋c，图象过A（－3，6），并与x轴交于B（－1，0）和点C，顶点为P．（1）求这个二次函数表达式；（2）设D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求D点坐标．12．已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于21．设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积关于中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教务管理部5x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围．训练题B：1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为．3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过象限．4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是．5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m=．6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=．7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点．8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围．9．抛物线y=x2－2ax＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是．10．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．无11．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则bacacbcba的值是（）A．－3B．3C．21D．－2112．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）A．0＜－ab2＜1B．0＜－ab2＜2C．1＜－ab2＜2D．－ab2=113．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．（1）当实数k为何值时，图象经过原点？（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？