高一数学教案：函数应用举例1

学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网课题：函数应用举例1教学目的：1．了解数学建模，会根据实际问题确定函数模型；2．掌握根据已知条件建立函数关系式；3.培养学生的数学应用意识.教学重点：根据已知条件建立函数关系式教学难点：数学建模意识.授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1．数学是预测的重要工具，而预测是管理和决策的依据，就像汽车的明亮的前灯一样，良好的预测展示的前景有助于决策者根据这些条件来采取行动．在我们考察不同的预测方法之前，必须指出：预测既是一门科学，也是一门艺术．科学预测的力量在于：经过长期的实践，职业的预测者胜过那些没有受过专业训练的、非系统的、或使用非科学方法——例如根据月亮的盈亏来预测的人．我国数学工作者在对天气、台风、地震、病虫害、海浪等的研究方面进行过大量的统计，对数据进行处理，拟合出一些直线或曲线，用于进行预测和控制．例如，中科院系统对我国粮食产量的预测.连续11年与实际产量的平均误差只有1％．2．指数函数)10(aaayx且的图象和性质：a10a1图象654321-1-4-224601654321-1-4-224601性质(1)定义域：R奎屯王新敞新疆（2）值域：（0，+∞）奎屯王新敞新疆（3）过点（0，1），即x=0时，y=1奎屯王新敞新疆（4）在R上是增函数奎屯王新敞新疆（4）在R上是减函数奎屯王新敞新疆3．对数函数xyalog)10(aa且的图像和性质：a10a1图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网=21.02x性质定义域：（0，+∞）值域：R过点（1，0），即当1x时，0y)1,0(x时0y奎屯王新敞新疆),1(x时0y奎屯王新敞新疆)1,0(x时奎屯王新敞新疆),1(x时奎屯王新敞新疆在（0，+∞）上是增函数奎屯王新敞新疆在（0，+∞）上是减函数奎屯王新敞新疆二、新授内容：数学模型与数学建模数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.三、讲解范例：例1以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05⑴根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数baxy,bxayln，xbay中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式,并求出a,b的值．⑵若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175cm体重78kg，他的体重是否正常？分析：根据上表的数据描点画出图象，观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，可以判断它不能用函数baxy来近似反映．根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数xbay来近似反映图1图2解：⑴将已知数据输入计算机，画出图1；根据图1，选择函数xbay进行拟合．学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网=2，b=1.02所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为xy02.12将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图象图2，可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系．⑵将x=175代人xy02.12得17502.12y计算得y=63.98，由于2.122.198.6378，所以，这个男生体重偏胖．注：①例1是实际应用问题．解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义做出回答．这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形．②给出另两个函数的拟合结果小结1：函数拟合与预测的步骤：在中学阶段，学生在处理函数拟合与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤：⑴能够根据原始数据、表格.绘出散点图．⑵通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．例2某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数cbayx（其中cba,,为常数）奎屯王新敞新疆已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由奎屯王新敞新疆讲解：根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式奎屯王新敞新疆设rqprqxpxxfy,,()(21为常数，且)0p，cbaxgyx)(2，根据已知，得,3.139,2.124,1rqprqprqp及,3.1,2.1,132cabcabcab解得4.1,5.0,8.0;7.0,35.0,05.0cbarqp4.15.08.0)(.7.035.005.0)(2xxgxxxf35.1)4(,3.1)4(gf奎屯王新敞新疆学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网显然)4(g更接近于1.37，故选用4.15.08.0xy作为模拟函数较好奎屯王新敞新疆注：确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键奎屯王新敞新疆例3用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域.分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用.解：如图，设AB=2x，则CD弧长=πx,于是AD=22xxm因此y=2x·2222xxxm,即y=-mxx224再由02202xxmx解之得0＜x＜2m即函数式是y=-24·2x+mx定义域是：（0，2m）奎屯王新敞新疆小结2：（1）数学应用题的能力要求①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题的能力；（2）解答应用题的基本步骤①合理、恰当假设；②抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；③分析、解决数学问题；④数学问题的解向实际问题的还原.例4如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域.分析：要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R，两腰长为2x,因此，只须用已知量（半径R）和腰长x把上底表示出来，即可写出周长y与腰长x的函数式.解：如图所示，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB，垂足为E，连结BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADERt△ABD.∴AD2=AE·AB，即AE=Rx22学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网∴CD=AB-2AE=2R-Rx2所以，y=2R+2x+(2R-Rx2),即y=-Rx2+2x+4R再由RxRxRRxx20,0202022解得奎屯王新敞新疆∴周长y与腰长x的函数式为：y=-R1(2x+2x+4R),定义域为：（0，2R）评述：例4是实际应用问题.解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形.四、练习：1．中国人口问题“人口问题”是我国最大的社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础．由人口统计年鉴，可查得我国从1949年到1994年人口数据资料如下：年194919541959196419691974197919891994人口(百万)541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421106.761176.74试估计我国2010年的人口数．2．销售额问题某县乡镇企业局，要求预测1990年～1991年轻工产品人均销售额，根据初步分析，人均销售额yt和人均国民收人xt的数据如下表所示，1990年及1991年人均国民收入计划值分别为514．1元/人、550．l元／人．年份人均销售额yt(元/人)人均国民收入xt(元/人)年份人均销售额yt(元/人)人均国民收入xt(元/人)19650.3511619780.7819719660.3713719790.9422619670.5214219801.0023819680.6715619811.0525819690.6012319821.1025419700.5711519831.1826919700.5312819841.2227019720.5913619851.3618819730.5016219861.4534819740.5618619871.6142219750.6316219881.8644819760.6616319892.11485学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网五、小结通过本节学习，大家应对数学建模有所了解，并能根据已知条件建立函数关系式，逐步掌握解决实际问题的能力.六、课后作业：课本P88练习1.将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为d，截面的面积为A，求面积A以x为自变量的函数式，并写出它的定义域.解：如图，截面的一条边为x，对角线AC=d,另一条边BC=22xd,所以S=x22xd,定义域为：{x|0＜x＜d}2.如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式，并讨论这个函数的定义域.解：∵底面边长为a-2x,∴底面积为(a-2x)2又长方体高为x,∴长方体体积V=x(a-2x)2由a-2x＞0,得x＜2a又x＞0,∴函数定义域为{x|0＜x＜2a}课本P89习题2.91.建筑一个容积为8000m3，深为6m的长方体蓄水池，池壁的造价为a元/m2,池底的造价为2a元/m2,把总造价y(元)表示为底的一边长为x(m)的函数.解：设底面的另一边长为z(m)，则根据题意有6xz=8000,z=x34000池壁造价为a·(2x+2z)·6=12a(x+x34000)池底造价为2a·3