高一数学第一章集合讲义

14/23/2020集合（一）集合的含义与表示1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。（二）集合间的基本关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.知识网络考纲导读列举法描述法确定性包含关系无序性互异性集合集合与集合的关系集合的概念元素的性质分类集合的表示法集合运算有限集无限集空集子集相等真子集并集交集补集高考导航24/23/2020第1课时集合的概念一、集合1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象就成为一个集合，简称．集合中的每一个对象叫做这个集合的．2．集合中的元素属性具有：(1)确定性；(2)；(3)．3．集合的表示法常用的有、和韦恩图法三种，有限集常用，无限集常用，图示法常用于表示集合之间的相互关系．二、元素与集合的关系4．元素与集合是属于和的从属关系，若a是集合A的元素，记作，若a不是集合B的元素，记作．但是要注意元素与集合是相对而言的．三、集合与集合的关系5．集合与集合的关系用符号表示．6．子集：若集合A中都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作．7．相等：若集合A中都是集合B的元素，同时集合B中都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作．8．真子集：如果就说集合A是集合B的真子集，记作．9．若集合A含有n个元素，则A的子集有个，真子集有个，非空真子集有个．10．空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的，是任何非空集合的，解题时不可忽视．例1.已知集合8|6AxNNx，试求集合A的所有子集.解：由题意可知6x是8的正约数，所以6x可以是1,2,4,8；相应的x为2,4,5，即2,4,5A.∴A的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}.变式训练1.若a,bR,集合1,,0,,,bababa求b-a的值.解：由1,,0,,bababa可知a≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：01abbaab①或01abbaba②典型例题基础过关34/23/2020由①得1,1ab符合题意；②无解.所以b-a=2.例2.设集合2{2,3,23}Uaa，{|21|,2}Aa，{5}UCA，求实数a的值.解：此时只可能2235aa，易得2a或4。当2a时，{2,3}A符合题意。当4a时，{9,3}A不符合题意，舍去。故2a。变式训练2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m。解：（1）a＝0,S＝，P成立a0，S，由SP，P＝{3，－1}得3a＋2＝0，a＝－23或－a＋2＝0，a＝2；∴a值为0或－23或2.（2）B＝，即m＋12m－1,m2∴A成立.B≠，由题意得12121521mmmm得2≤m≤3∴m2或2≤m≤3即m≤3为取值范围.注：（1）特殊集合作用，常易漏掉例3.已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.（1）若A是空集，求m（2）若A中只有一个元素，求m解：集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.(1)∵A是空集，∴方程mx2-2x+3=0无解.∴Δ=4-12m0,即m13.（2）∵A∴方程mx2-2x+3=0只有一个解.若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=32;若m≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=13.∴m=0或m=13.探究1：若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.44/23/2020答案：A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m=0或m≥13.变式训练3.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.解：（1a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,a=0即为所求.（2）由题意知,22aabb或2012aabbba或00ab或14,12ab根据元素的互异性得01ab或1412ab即为所求.例4.若集合A＝{2，4，3227aaa}，B＝{1，a＋1，222aa，21(38)2aa、3237aaa}，且A∩B＝{2，5}，试求实数a的值．解:∵А∩В＝{2，5}，∴2∈A且5∈A，则3227aaa＝5(a－2)(a－1)(a＋1)＝0，∴a＝－1或a＝1或a＝2．当a＝－1时，B＝{1，0，5，2，4}，与A∩B＝{2，5}矛盾，∴a≠－1．当a＝1时，B＝{1，2，1，5，12}，与集合中元素互异性矛盾，∴a≠1．当a＝2时，B＝{1，3，2，5，25}，满足A∩B＝{2，5}．故所求a的值为2．探究2：已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq，2aq}，其中a≠0，若A＝B，求q的值.答案：∵A＝B∴(Ⅰ)22aqdaaqda或(Ⅱ)aqdaaqda22由(Ⅰ)得q＝1，由(Ⅱ)得q＝1或q＝－21．当q＝1时，B中的元素与集合元素的互异性矛盾，∴q＝－211．本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆．2．利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要检验．3．注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性．4．要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用．小结归纳归纳小结54/23/2020第2课时集合的运算一、集合的运算1．交集：由的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝．2．并集：由的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝．3．补集：集合A是集合S的子集，由的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作SCA，即SCA＝．二、集合的常用运算性质1．A∩A＝，A∩＝，A∩B=，B∩A，A∪A＝，A∪＝，A∪B＝B∪A2．UACA＝，UACA＝，()UCCA．3．()UCAB，()UCAB，4．A∪B＝AA∩B＝A例1.设全集UR，{|Mm方程210mxx有实数根}，{|Nn方程20xxn有实数根}，求()UCMN.解：当0m时，1x，即0M；当0m时，140,m即14m，且0m∴14m，∴1|4UCMmm而对于N，140,n即14n，∴1|4Nnn.∴1()|4UCMNxx变式训练1.已知集合A=6|1,R,1xxxB=2|20,xxxm（1）当m=3时，求()RACB；基础过关典型例题64/23/2020（2）若AB|14xx，求实数m的值.解：由61,1x得50.1xx∴-1＜x≤5,∴A=|15xx.（1）当m=3时，B=|13xx，则RCB=|13xxx或，∴()RACB=|35xx.(2)∵A=|15,|14,xxABxx∴有42-2×4-m=0,解得m=8.此时B=|24xx,符合题意，故实数m的值为8.例2.已知{|3}Axaxa,{|1Bxx或5}x.(1)若AB,求a的取值范围;(2)若ABB,求a的取值范围.解:(1)AB,∴135aa，解之得12a.(2)ABB,∴AB.∴31a或5a，4a或5a∴若AB,则a的取值范围是[1,2]；若ABB,则a的取值范围是(,4)(5,).变式训练2：设集合A=2|320,xxxB22|2(1)(5)0.xxaxa（1）若AB2,求实数a的值；（2）若AB=A，求实数a的取值范围；（3）若U=R，A（UCB）=A.求实数a的取值范围.解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=1,2.（1）∵AB2,∴2B，代入B中的方程，得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;当a=-1时，B=2|402,2,xx满足条件；当a=-3时，B=2|4402,xxx满足条件；综上，a的值为-1或-3.（2）对于集合B，=4（a+1）2-4(a2-5)=8(a+3).∵AB=A，∴BA,①当＜0,即a＜-3时，B=，满足条件；74/23/2020②当=0，即a=-3时，B2,，满足条件；③当＞0，即a＞-3时，B=A=1,2.才能满足条件，则由根与系数的关系得2122(1)125aa即25,27aa矛盾；综上，a的取值范围是a≤-3.（3）∵A（UCB）=A，∴AUCB，∴A;B①若B=，则＜03a适合；②若B≠，则a=-3时，B=2，AB=2，不合题意；a＞-3，此时需1B且2B，将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）；将1代入B的方程得a2+2a-2=013.a∴a≠-1且a≠-3且a≠-13.综上，a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-3或-1-3＜a＜-1或-1＜a＜-1+3或a＞-1+3.例3.已知集合A=2|(2)10,R,xxaxxBR|0xx，试问是否存在实数a，使得AB？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解:方法一假设存在实数a满足条件AB=则有（1）当A≠时，由AB=，BR|0xx，知集合A中的元素为非正数，设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得01;0,0)2(04)2(21212xxaaxxa解得（2）当A=时，则有=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a＜0.综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.方法二假设存在实数a满足条件AB≠，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1，x2至少有一个为正，因为x1·x2=1＞0，所以两根x1,x2均为正数.则由根与系数的关系，得212(2)40,(2)0axxa解得04,4.2aaaa或即又∵集合|4aa的补集为|4,aa∴存在满足条件AB=的实数a,其取值范围