3-2 劳斯判据

线性系统的稳定性分析朱文兴3.5线性系统的稳定性分析23.5.1稳定的概念所谓稳定性是指系统在受到外界力的作用后恢复平衡状态的能力。如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。3如果系统受到有界扰动，系统在取消扰动后无法恢复到初始平衡状态，则称为不稳定的系统。4对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。单摆运动5ab6线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。根据定义输入(t)，其输出为脉冲过渡函数g(t)。如果当t→∞时，g(t)收敛到原来的平衡点，即有0)(limtgt那么，线性系统是稳定的。7qirkkdktktpitteBeAtgkki)0()sin()(01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsMsnnnnmmmm不失一般性，设n阶系统的闭环传递函数为式中，0k1。即系统有q个实极点和r对共轭复数极点。取拉氏反变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位脉冲响应的时间表达式：qirkkkkimjjnmsspszsabsCsRsCs11221)2()()()()()()(式中；k=arccosk；Ak、Bk是与C(s)在对应闭环极点上的留数有关的常数。21kkdk线性系统稳定的充要条件8线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。3.5.2劳斯判据劳斯判据是一种根据系统闭环特征方程式来判断特征根在s平面的位置，从而决定系统的稳定性的代数判别方法。是劳斯于1877年提出的，因此叫劳斯稳定性判据。它能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。由此劳斯获得了亚当奖。10劳斯判据的应用程序如下：设线性系统的闭环特征方程为0)()(10122110niinnnnnssaasasasasasD式中，a00，an≠0,si（i=1,2,,n）是系统的n个闭环极点。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：110niiasa01)1(aasnnnii2101nijijijassa11从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：aiaj0(i,j=1,2,,n)即闭环特征方程各项同号且不缺项。如果特征方程不满足上式的条件，系统必然不稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。要得到系统稳定的充要条件，必须列写劳斯表。12劳斯判据下控制系统稳定的充要条件是：系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项，全部系数为正值，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。劳斯表的列写步骤：1、劳斯表的第一行的组成：从特征方程式的最高幂次项系数开始，每隔一幂次项系数写一个，直到没有可写的系数了；2、劳斯表的第二行由剩余的项的系数从幂次高的到低的依次列写组成；3、从第三行开始，将由计算公式来决定。劳斯表的组成劳斯表sna0（c11）a2（c12）a4（c13）……sn−1a1（c21）a3（c22）a5（c23）……sn−2c31c32c33……sn−3c41c42c43……………………s0an0)(122110nnnnnasasasasasD1,11,11,21,21,11jiijiiiijcccccc表中：1）最左一列元素按s的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。(i3,j=1,2,)闭环特征方程式：2,21,22,11,11,2311cccccc3,21,23,11,11,2321cccccc劳斯判据判断系统稳定性的步骤：稳定的充要条件：1、系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项；2、全部系数为正值；3、由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。根的分布情况如果劳斯表的第一列元素不全为正的，那么劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于该特征方程位于右半s平面上根的个数。15例3-5设有下列特征方程D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表特征方程式不缺项，且系数都为正值，劳斯表的第一列元素符号改变了2次，∴系统不稳定，且s右半平面有2个根。s4s3s2s1s0135240615503.5.3两种特殊情况第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，有两种处理方法。第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。对此情况，可做辅助方程来重新列写劳斯表。17例3-6系统的特征方程为D(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：系统的劳斯表为第一种特殊情况出现，可作如下处理：s4s3s2s1s01113301①用一个很小的正数ε来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。②可用因式（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。1833∵特征方程式不缺项且系数为正值，ε→0+时，c410，劳斯表中第一列元素符号改变了两次。∴系统不稳定，有两个正根。②（s+1）乘以原特征方程，得新的特征方程为：D1(s)=D(s)(s+1)=s5+4s4+4s3+4s2+4s+1=0s4s3s2s1s0111330(ε)11s5s4s3s2s1s0144441315/4-1127/401①0特征方程式不缺项且系数为正值，劳斯表中第一列元素符号改变了两次。结论是：系统不稳定，有两个正根（S=-1是一个负实根）。19例3-7设某线性系统的闭环特征方程为D(s)=s5+s4+3s3+3s2+2s+2=0试用劳斯判据判断系统稳定性。解:该系统的劳斯表如下此时，特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：s5s4s3s2s1s01321320020特征方程式不缺项且系数为正值，劳斯表中第一列元素的符号无变化，∴系统没有正实部的根。解辅助方程求出系统有两对纯虚根，系统处于临界（不）稳定。两对纯虚根分别是s=±j和s=±√2j，剩下的一个根是s=-1。用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。s5s4s3s2s1s01321323/222/302F(s)=s4+3s2+2F(s)=4s3+6s460000劳斯判据小结控制系统稳定的充要条件是：1、系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项；2、全部系数为正值；3、由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。两种特殊情况：第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况有以下两种处理方法：1、用一个很小的正数ε来代替第一列为零的项；2、可用因式（s+a）乘以原特征方程。第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。对此情况，可做辅助方程来重新列写劳斯表。22①确定一个或两个参数变化对系统稳定性的影响例3-8已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。解：系统特征方程式s3+3s2+2s+K=0要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。0K6s3s2s1s0123K(6K)/3Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s)K﹣+3.5.4劳斯判据在系统分析中的应用23②确定系统的相对稳定性例3-9检验多项式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在s右半平面，并检验有几个根在垂直线s=1的右边？解：1)劳斯表中第一列元素均为正∴系统在s右半平面没有根，系统是稳定的。2)令s=s11坐标平移，得新特征方程为2s13+4s12s11=0s3s2s1s021310412.2424劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1右半平面有一个根。因此，系统在垂直线s=1的右边有一个根。s13s12s11s1021410.512s13+4s12s11=0