压轴大题巧突破(四)利用导数研究函数的零点或方程的根

教你如何化整为零破难题教你如何规范解答不失分教你如何易错警示要牢记压轴大题巧突破压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根[典例](2013·山东高考)(13分)设函数＋c(e＝2.71828…是自然对数的底数，c∈R).(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数．教你如何化整为零破难题【化整为零】第（1）问先对函数f(x)进行求导，再求解不等式f′(x)0或f′(x)0，即可得出其单调区间．由于其在定义域内有唯一的极大值点也是最大值点，所以可得其最大值．压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根[典例](2013·山东高考)(13分)设函数＋c(e＝2.71828…是自然对数的底数，c∈R).(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数．教你如何化整为零破难题【化整为零】第(2)问基础问题1：方程|lnx|＝f(x)中既有指数，也有对数，如何求解？求方程|lnx|＝f(x)根的个数，应构造函数g(x)＝|lnx|－f(x)，转化为判断函数g(x)零点的个数问题．压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根[典例](2013·山东高考)(13分)设函数＋c(e＝2.71828…是自然对数的底数，c∈R).(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数．教你如何化整为零破难题【化整为零】第(2)问基础问题2：如何判断函数g(x)＝|lnx|－f(x)的零点个数？函数g(x)＝|lnx|－f(x)的零点即为g(x)的图象与x轴的交点，因此，问题转化为判断g(x)的图象与x轴公共点的个数．压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根[典例](2013·山东高考)(13分)设函数＋c(e＝2.71828…是自然对数的底数，c∈R).(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数．教你如何化整为零破难题【化整为零】第(2)问基础问题3：函数g(x)的图象不能利用描点法画出，如何判断其与x轴公共点的个数？可根据函数g(x)的单调性与极值的情况，大体画出g(x)的图象，从而确定图象与x轴公共点的个数．压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根[典例](2013·山东高考)(13分)设函数＋c(e＝2.71828…是自然对数的底数，c∈R).(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数．教你如何化整为零破难题【化整为零】第(2)问基础问题4：如何判断g(1)0时，g(x)的图象与x轴公共点的个数？若存在x0∈(1，＋∞)，且g(x0)0，则在(1，＋∞)上存在零点；若存在x1∈(0,1)，且g(x1)0，则在(0,1)上存在零点．因此只需判断g(x)0在(0,1)和(1，＋∞)上是否有解即可.压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根[典例](2013·山东高考)(13分)设函数＋c(e＝2.71828…是自然对数的底数，c∈R).(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数．教你如何化整为零破难题流程汇总压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根【化整为零】第（1）问先对函数f(x)进行求导，再求解不等式f′(x)0或f′(x)0，即可得出其单调区间．由于其在定义域内有唯一的极大值点也是最大值点，所以可得其最大值．第(2)问基础问题1：方程|lnx|＝f(x)中既有指数，也有对数，如何求解？求方程|lnx|＝f(x)根的个数，应构造函数g(x)＝|lnx|－f(x)，转化为判断函数g(x)零点的个数问题．第(2)问基础问题2：如何判断函数g(x)＝|lnx|－f(x)的零点个数？函数g(x)＝|lnx|－f(x)的零点即为g(x)的图象与x轴的交点，因此，问题转化为判断g(x)的图象与x轴公共点的个数．第(2)问基础问题3：函数g(x)的图象不能利用描点法画出，如何判断其与x轴公共点的个数？可根据函数g(x)的单调性与极值的情况，大体画出g(x)的图象，从而确定图象与x轴公共点的个数．第(2)问基础问题4：如何判断g(1)0时，g(x)的图象与x轴公共点的个数？若存在x0∈(1，＋∞)，且g(x0)0，则在(1，＋∞)上存在零点；若存在x1∈(0,1)，且g(x1)0，则在(0,1)上存在零点．因此只需判断g(x)0在(0,1)和(1，＋∞)上是否有解即可.教你如何规范解答不失分压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根解：(1)f′(x)＝(1－2x)e－2x，由f′(x)＝0，解得x＝12.2分当x12时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x12时，f′(x)0，f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递增区间是－∞，12，单调递减区间是12，＋∞，最大值为f12＝12e－1＋c.4分教你如何规范解答不失分压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根(2)令g(x)＝|lnx|－f(x)＝|lnx|－xe－2x－c，x∈(0，＋∞)．(ⅰ)当x∈(1，＋∞)时，lnx0，则g(x)＝lnx－xe－2x－c，所以g′(x)＝e－2xe2xx＋2x－1.因为2x－10，e2xx0，所以g′(x)0，因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增.6分教你如何规范解答不失分压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根(ⅱ)当x∈0，1时，①lnx0，则g(x)＝－lnx－xe－2x－c，所以g′(x)＝e－2x－e2xx＋2x－1.因为e2x∈(1，e2)，e2x1x0，所以－e2xx－1.又2x－11，所以－e2xx＋2x－10，即g′(x)0.因此g(x)在(0,1)上单调递减．教你如何规范解答不失分压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当x∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝－e－2－c.8分当g(1)＝－e－2－c0，即c－e－2时，g(x)没有零点，故关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；9分当g(1)＝－e－2－c＝0，即c＝－e－2时，g(x)只有一个零点，故关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；10分教你如何规范解答不失分压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根当g1＝－e－2－c0，即c－e－2时，②a．当x∈(1，＋∞)时，由(1)知gx＝lnx－xe－2x－c≥lnx－12e－1＋clnx－1－c，③要使g(x)0，只需使lnx－1－c0，即x∈(e1＋c，＋∞)；11分教你如何规范解答不失分压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根b．当x∈(0,1)时，由(1)知gx＝－lnx－xe－2x－c≥－lnx－12e－1＋c－lnx－1－c，③要使g(x)0，只需－lnx－1－c0，即x∈(0，e－1－c)；所以c－e－2时，g(x)有两个零点，故关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.12分教你如何规范解答不失分压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根综上所述，当c－e－2时，关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当c＝－e－2时，关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当c－e－2时，关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.13分教你如何易错警示要牢记易错点一①处易忽视定义域为(0，＋∞)，得出“x1时，lnx0”的错误结论易错点二②处极易认为：g(1)0时，没有零点；g(1)＝0时，有一个零点；从而想当然认为g(1)0有两个零点，造成解题步骤不完整而失分易错点三③处易忽视处取得最大值，不能将不等式适当改变，从而无法判断g(x)的符号，导致解题失误或解题步骤不完整而失分压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根点击此处可返回索引