2013年高考数学(理科)一轮复习课件第33讲：解三角形应用举例

考纲要求考纲研读1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.考纲特别强调数学的应用意识．能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题．2．能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题．3．能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明．应用的主要过程是依据现实生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.1．解斜三角形的常用定理与公式(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝180°；sin(A＋B)＝______；cos(A＋B)＝_________.sinC－cosC(2)正弦定理：_____________________(R为△ABC的外接圆半径)．＝＝＝2RabcsinAsinBsinCc2＝a2＋b2－2abcosC(3)余弦定理：____________________.(4)三角形面积公式：_______________________________.(5)三角形边角定理：大边对大角同，大角对大边．2．利用正弦定理，可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．3．利用余弦定理，可以解决两类有关三角形的问题(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinBA．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形1．在△ABC中，若2acosB＝c，则△ABC的形状一定是()C2．如图7－2－1某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝200米．则A，C两点的距离为()图7－2－1A.20063米B．1006米C.10063米D．2002米A3．在△ABC中，c＝3，b＝1，∠B＝30°，则∠C的值为()A．60°B．30°C．120°D．120°或60°面积为____.4．若△ABC满足AB·AC＝23，∠BAC＝30°，则三角形的5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c＝2a，则sinB＝____.D174考点1向量在三角形中的应用C(c,0)．(1)若c＝5，求sin∠A的值；(2)若∠A为钝角，求c的取值范围．例1：已知△ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，解析：(1)AB＝(－3，－4)，AC＝(c－3，－4)．若c＝5，则AC＝(2，－4)．∴cos∠A＝cos〈AC，AB〉＝－6＋165×25＝15.∴sin∠A＝255.(2)若∠A为钝角，则－3c＋9＋160，c≠0.解得c253.∴c的取值范围是253，＋∞.(1)角的处理方法通常有三类：一是用边表示角，如正余弦定理；二是用向量表示角，如数量积的定义；三是用直线的斜率表示角．(2)用向量处理角的问题时要注意两点：一是要注意角的取值范围；二是利用向量处理△ABC的角，角A是直角的充要条件是AB·AC＝0；A是锐角的充要条件是AB·AC0且AB，AC不共线；A是钝角的充要条件是AB·AC0且AB，AC不共线．【互动探究】1．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．解：(1)∵m∥n，∴asinA＝bsinB.即a·a2R＝b·b2R.∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)∵m⊥p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝12absinC＝12·4·sinπ3＝3.考点2有关三角形的边角计算问题例2：①在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csinA.(1)确定角C的大小；(2)若c＝3，且△ABC的面积为23，求a2＋b2的值．解析：(1)由a＝2csinA及正弦定理得，ac＝2sinA＝sinAsinC，∵sinA≠0，∴sinC＝12.∵△ABC是锐角三角形，∴C＝π6.(2)∵c＝3，C＝π6，由面积公式得12absinπ6＝23，即ab＝83.由余弦定理得a2＋b2－2abcosπ6＝3，即a2＋b2－3ab＝3.∵ab＝83，∴a2＋b2－24＝3.故a2＋b2＝27.1.在解三角形中，常常要求a2＋b2，a＋b，ab这些值，首先要注意到，这三个值中的任意一个都可以用其余两个来表示．2．要注意余弦定理的变形技巧：将a2＋b2－2abcosC＝c2变为(a＋b)2－2ab－2abcosC＝c2等．3．要注意向量的数量积与面积之间的关系．②(2011年湖南)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，cosC＝14(1)求△ABC的周长；(2)求cos(A－C)的值．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2·1·2·14＝4，∴c＝2.∴△ABC的周长为1＋2＋2＝5.(2)由cosC＝14得，sinC＝1－cos2C＝1－116＝154.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝4＋4－12×2×2＝78，∴sinA＝1－cos2A＝1－4964＝158.∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝14×78＋154×158＝1116.解三角形与两角和与差的三角函数交汇处问题要注意以下几点：一是已知三角形的三边可以求任意一个内角的正弦值与余弦值，可以求三角形的面积；二是要注意角的取值范围，如当角的余弦值为正数且不共线时，此角一定为锐角，如当角的余弦值为负数且不共线时，此角一定为钝角，如当角的余弦值为零时，此角一定为直角．【互动探究】2．(2011年广东广州二模)如图7－2－2，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．图7－2－2(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．解：依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.(1)在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/小时．(2)由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°，所以sinα＝ABsin120°BC＝12×3228＝3314.3．已知△ABC中，22(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，其外接圆半径为2.(1)求∠C；(2)求△ABC面积的最大值．解：(1)设三角形外接圆半径为R.由22(sin2A－sin2C)＝(a－b)·sinB，得22a24R2－c24R2＝(a－b)b2R.又∵R＝2，∴a2＋b2－c2＝ab.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝12.又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°.(2)S＝12absinC＝12×32ab＝34·2RsinA·2RsinB＝23sinAsin(120°－A)＝23sinA(sin120°cosA－cos120°sinA)＝3sinAcosA＋3sin2A＝32sin2A－32cos2A＋32＝3sin(2A－30°)＋32.∴当2A－30°＝90°，即A＝60°时，Smax＝332.易错、易混、易漏13．在三角形中，对三边长度成等比数列或成等差数列的条件不会用例题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，依次成等比数列．(1)求角B的取值范围；(2)求y＝1＋sin2BsinB＋cosB的取值范围．正解：(1)∵a，b，c，依次成等比数列，∴b2＝ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac＝12ac＋ca－12≥12.∴0＜B≤π3.(2)y＝1＋sin2BsinB＋cosB＝sinB＋cosB2sinB＋cosB＝sinB＋cosB＝2sinB＋π4.∵π4＜B＋π4≤7π12，∴22＜sinB＋π4≤1.故1＜y≤2.所以y＝1＋sin2BsinB＋cosB的取值范围是(1，2]．【失误与防范】主要问题是学生对三角形的三边成等比数列这一条件不会使用.第一，看不出b2＝ac和余弦定理之间的联系；第二是在余弦定理中不知道使用基本不等式求cosB的取值范围.将一个假分式化为带分式是一条基本规律，需要好好体会.1．运用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式可以求有关三角形的边、角、外接圆半径、面积的值或范围等基本问题．2．由斜三角形六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(其中至少有一边)，求其余三个未知元素的过程，叫做解斜三角形．其中已知两边及一边的对角解三角形可能出现无解，或一解或两解的情况．本节的难点是三角形形状的判断与三角形实际应用问题的解决．主要是学生看不到问题的本质，受到许多非本质问题的干扰．要加强将实际问题转化为数学问题的能力的训练．