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考纲要求考纲研读1.古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式．(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．2．随机数与几何概型(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．(2)了解几何概型的意义.1.古典概型的概率等于所求事件中所含的基本事件数与总的基本事件数的比值．2.几何概型的关键之处在于将概率问题转化为长度，面积或体积之比.1．古典概型的定义(1)试验的所有可能结果(基本事件)只有_______．有限个(2)每一个试验结果(基本事件)出现的可能性______．我们把具有以上这两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．2．古典概型的计算公式对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率为P(A)＝___.相等mnP(A)＝3．几何概型的定义长度体积如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______(____或_____)成比例，则这样的概率模型称为几何概率模型，简称几何概型．4．几何概型的特点无限不可数(1)试验的结果是_______________的．(2)每个结果出现的可能性_____．5．几何概型的概率公式构成事件A的区域长度(面积或体积)区域的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).面积相等1．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是()A.14B.12C.23D.34解析：依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2,3,4或3,4,5或2,4,5，故P＝3C34＝34，故选D.D2．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是()A.512B.12C.712D.56解析：连续抛掷两次骰子共有基本事件6×6＝36个，a，b的夹角θ∈0，π2的充要条件为a·b＝m－n≥0，而m≥n包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为2136＝712.C3．如图15－2－1，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为()A.23B.43C.83D.103解析：设阴影部分面积为S，则S22＝23，则S＝83.C图15－2－14．(2011年江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为_____.1316解析：π－π122π＋π142π＝1316.考点1古典概型例1：先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．(1)求点P(x，y)在直线y＝x－1上的概率；(2)求点P(x，y)满足y24x的概率．解析：(1)∵每颗骰子出现的点数都有6种情况，∴基本事件总数为6×6＝36(个)．记“点P(x，y)在直线y＝x－1上”为事件A，A有5个基本事件：A＝{(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)}．∴P(A)＝536.(2)记“点P(x，y)满足y24x”为事件B，则事件B有17个基本事件：当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝1,2；当x＝3时，y＝1,2,3；当x＝4时，y＝1,2,3；当x＝5时，y＝1,2,3,4；当x＝6时，y＝1,2,3,4.∴P(B)＝1736.计算古典概型事件的概率可分为三步：①算出基本事件的总个数n；②求出事件A所包含的基本事件个数m；③代入公式求出概率P.【互动探究】1．(2011年广东揭阳二模)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{－1,1}，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点位于区域D：x－y＋2≥0，x＋y－2≤0，y≥－1内(含边界)的概率．解：(1)集合M的所有元素有(－2，－1)，(－2,1)，(0，－1)，(0,1)，(2，－1)，(2,1)共6个．记“以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上”为事件A，则基本事件总数为6.因落在圆x2＋y2＝1上的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A包含的基本事件数为2.所以P(A)＝26＝13.(2)记“以(x，y)为坐标的点位于区域D内”为事件B.则基本事件总数为6.图D39由图D39知位于区域D内(含边界)的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)共4个，即B包含的基本事件数为4.故P(B)＝46＝23.考点2几何概型例2：(2011年广东珠海模拟节选)甲、乙两人约定上午9点至12点在某地点见面，并约定任何一个人先到之后等另一个人不超过一个小时，一小时之内如对方不来，则离去．如果他们二人在8点到12点之间的任何时刻到达约定地点的概率都是相等的，求他们见到面的概率．解析：设甲到达时间为x，乙到达时间为y，取点Q(x，y)，则0x3,0y3.两人见到面的充要条件是：|x－y|1.如图D38，其概率是：P＝32－2·12·2232＝59.图D38几何概型的关键在于构造出随机事件A所对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于坐标系的点，便可构造出度量区域．【互动探究】2．在区间[－1,1]上随机取一个数x，cosπx2的值介于0到12之间的概率为()A.13B.2πC.12D.23解析：在区间[－1,1]上随机取一个数x，即x∈[－1,1]时，要使cosπx2的值介于0到12之间，需使－π2≤πx2≤－π3或π3≤πx2≤π2，∴－1≤x≤－23或23≤x≤1，区间长度为23，由几何概型知cosπx2的值介于0到12之间的概率为232＝13.A考点3两种概型的综合运用例3：(2010年惠州调研)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－2bx＋8.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{2,3,4,5}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间(－∞，2]上有零点且是减函数的概率；(2)若a是从区间[1,3]任取的一个数，b是从区间[2,5]任取的一个数，求函数y＝f(x)在区间(－∞，2]上有零点且是减函数的概率．解题思路：这个题的两问分别考查的是古典概型和几何概型问题，又联合了一元二次方程根的分布问题．解析：(1)分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，基本事件有如下12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)．∵函数f(x)＝ax2－2bx＋8的图象的对称轴为x＝ba，要使f(x)＝ax2－2bx＋8在区间(－∞，2]上为减函数且有零点，当且仅当ba≥2且f(2)≤0，即b≥2a且a－b≤－2，这样的事件有5个：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)．∴所求事件的概率为512.即函数y＝f(x)在区间(－∞，2]上有零点且是减函数的概率是512.(2)基本事件所构成的区域为M＝{(a，b)|1≤a≤3,2≤b≤5}．由(1)知构成事件“函数y＝f(x)在区间(－∞，2]上有零点且是减函数”的区域为N＝{(a，b)|1≤a≤3,2≤b≤5，且b≥2a，a－b≤－2}．通过数形结合的方法可得所求的概率为32＋1×12＋12×1×12×3＝724.这题属于古典概型与几何概型的一个典型的题目，融合了函数的零点知识(一元二次方程根的分布问题)．【互动探究】3.(2011年广东广州执信中学三模)已知两实数x，y满足0≤x≤2,1≤y≤3.(1)若x，y∈N，求使不等式2x－y＋20成立的概率；(2)若x，y∈R，求使不等式2x－y＋20不成立的概率．解析：(1)设“使不等式2x－y＋20成立”为事件A.因为x，y∈N，(x，y)可有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9种情况．事件A有(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7种可能．则P(A)＝79.所以使不等式2x－y＋20成立的概率为79.(2)设“使不等式2x－y＋20不成立”也即“使不等式2x－y＋2≤0成立”为事件B，因为x∈[0,2]，y∈[1,3]，所以(x，y)对应的区域边长为2的正方形(如图D40)，且面积为Ω＝4.2x－y＋2≤0，对应的区域是如图D40阴影部分．图D40设其面积为S，则S＝12×1×12＝14.则P(B)＝SΩ＝144＝116.故使不等式2x－y＋20不成立的概率为116.几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，二者的共同点是基本事件都是等可能的，不同点是基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的．对于古典概型问题，处理基本事件的数量是关键，而对于几何概型中的概率问题转化为长度、面积或体积之比是关键．1．区分古典概型与几何概型．2．古典概型中的基本事件的数量容易计算出，如果能直接列出时，要注意书写时避免重复和遗漏，有时候也利用排列组合的相关知识来解决基本事件的数量．3处理古典概型的难点一方面在于从题目中提取几何概型的模型，另一方面在于计算方面，这点有时候会与定积分结合起来考查．