第十章 波动与声

波动是振动的传播过程.振动是激发波动的波源.机械波电磁波波动机械振动在弹性介质中的传播.交变电磁场在空间的传播.两类波的不同之处机械波的传播需有传播振动的介质;电磁波的传播可不需介质.能量传播反射折射干涉衍射两类波的共同特征§10.1波的基本概念波源介质+弹性作用机械波一、机械波的形成产生条件：1）波源；2）弹性介质.波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.注意机械波：机械振动在弹性介质中的传播.横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.（仅在固体中传播）二、横波与纵波特征：具有交替出现的波峰和波谷.纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.（可在固体、液体和气体中传播）特征：具有交替出现的密部和疏部.三、波长波的周期和频率波速波长：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.π2OyAA-ux周期：波前进一个波长的距离所需要的时间.TT1TuTuu频率：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目.波速：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.u注意周期或频率只决定于波源的振动!波速只决定于媒质的性质！波速与介质的性质有关，为介质的密度.u如声音的传播速度sm4000sm343空气，常温左右，混凝土GuEuKu横波固体纵波液、气体切变模量弹性模量体积模量四、波线波面波前*球面波平面波波前波面波线例1在室温下，已知空气中的声速为340m/s，水中的声速为1450m/s，求频率为200Hz和2000Hz的声波在空气中和水中的波长各为多少？1u2um7.1Hz200sm3401111-um17.0212um25.7Hz200sm14501121-um725.0222u在水中的波长解由，频率为200Hz和2000Hz的声波在u空气中的波长),(txyy各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波.一、平面简谐波的波函数平面简谐波：波面为平面的简谐波.介质中任一质点（坐标为x）相对其平衡位置的位移（坐标为y）随时间的变化关系，即称为波函数.),(txy§10.2平面简谐波点O的振动状态tAyOcos点Puxtt时刻点P的运动t-x/u时刻点O的运动以速度u沿x轴正向传播的平面简谐波.令原点O的初相为零，其振动方程tAyOcos)(cosuxtAyP-点P振动方程时间推迟方法点P比点O落后的相位Op-xπ2-uxTuxxp---π2π2)(cosuxtAyp-点P振动方程tAyocos点O振动方程0,0x波函数)(cosuxtAy-Px*yxuAA-O相位落后法0,0x])(cos[uxtAy沿轴负向ux)cos(tAyO点O振动方程波函数沿轴正向ux])(cos[-uxtAyyxuAA-O如果原点的初相位不为零波动方程的其它形式])(π2cos[)(-λxTtAx,ty)cos(),(-kxtAtxyπ2k角波数质点的振动速度，加速度])(sin[--uxtAtyv])(cos[222--uxtAtya二、波函数的物理意义])(π2cos[])(cos[--xTtAuxtAy1.当x固定时，波函数表示该点的简谐运动方程，并给出该点与点O振动的相位差.λxuxπ2--（波具有时间的周期性）),(),(Ttxytxy波线上各点的简谐运动图（波具有空间的周期性）),(),(txytxy2.当一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.t])(π2cos[])(cos[--xTtAuxtAy--)(π2)(111xTtuxt--)(π2)(222xTtuxt21122112π2π2xxx--波程差1221xxx-xπ2yxuOyxuO),(),(xxttxt)(π2cosxTtAy-)(π2)(π2xxTttxTt--xTttux3.若均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.tx,t时刻tt时刻x1.写出某个已知点的振动方程；2.以刚得到的已知点的振动方程为出发点，根据波速的方向和大小写出任一个点的振动方程，即得到波动方程。关于波动方程的题型主要有两种：（1）已知波函数求各物理量；（2）已知各物理量求波函数。三、波动方程的求解步骤例1.已知波动方程如下，求波长、周期和波速.].)cm01.0()2.50s[(πcos)cm5(-1-1xty-解：方法一（比较系数法）.)(π2cosxTtAy-])cm201.0()s22.50[(π2cos)cm5(1-1-xty-把题中波动方程改写成s8.0s5.22Tcm20001.0cm21scm250-Tu比较得例1.已知波动方程如下，求波长、周期和波速.].)cm01.0()2.50s[(πcos)cm5(-1-1xty-解：方法二（由各物理量的定义解之）.---txt)2.50s[(π])cm01.0()2.50s[(π-11-1-1π2])cm01.0(2-1xcm20012-xx])cm01.0()2.50s[(π])cm01.0()2.50s[(π2-12-11-11-1xtxt--s8.012-ttT11212scm250---ttxxu周期为相位传播一个波长所需的时间波长是指同一时刻,波线上相位差为的两点间的距离.π2tcm20012-xx])(π2cos[-xTtAy1）波动方程2π-例2.一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅，，.在时坐标原点处的质点位于平衡位置沿Oy轴正方向运动.求0tm0.2m0.1As0.2T0,0tyyv00xt解写出波动方程的标准式yAO(1.0cos[2()]2.02.02πm)πsmtxy--2）求波形图.x)msin(πm)0.1(1-s0.1t])m(π2πcos[m)0.1(1xy--波形方程s0.1t]2π)m0.2s0.2(π2cos[m)0.1(--xtyom/ym/x2.01.0-1.0时刻波形图s0.1t3）处质点的振动规律并做图.m5.0x]π)scos[(πm)0.1(1--ty]2π)m0.2s0.2(π2cos[m)0.1(--xty处质点的振动方程m5.0x0m/y1.0-1.0s/t2.0Oy1234******1234处质点的振动曲线m5.0x1.0解：①原点波函数-uxtAycos例3：原点O振动方程为ty800sin1062-波速方向向右，求：①波函数；②波长、频率；m5x处质点振动与原点的相位差。m/s200u)2/800cos(1062--ty---2/200800cos1062xty③②.波长、频率8002T8002s4001T/1Hz400400/200m5.0uT③.x=5m处位相位相差200580012-P点落后反映在相位上为20，即原点完成10个全振动后，P点开始振动。m5x质点振动与原点的相位差。原点的位相2/8001-t2/200/58002--t20)2/800cos(1062--ty---2/2005800cos1062ty原点5m处例4：如图所示，平面简谐波向右移动速度u=0.08m/s，求：①.原点处的振动方程；②.波函数；③.P点的振动方程；④.a、b两点振动方向。解：①.原点2.02m4.0uT/T/2/2u)cos(tAy5/2oyxuabPm2.0m04.04.0/08.02t=0时，o点处的质点向y轴负向运动2/原点的振动方程为：252cos04.0tyoy③.oytuabPm2.0m04.0P点的振动方程Pxm4.0-208.04.052cos04.0ty-2552cos04.0t④.a、b振动方向，作出t后的波形图。②.波函数-208.052cos04.0xty252cos04.0ty例5：如图,是一平面简谐波在t=0秒时的波形图，由图中所给的数据求：（1）该波的周期；（2）传播介质O点处的振动方程；（3）该波的波动方程。o)(cmy)(mxsmu/101-25)32cos(02.0-ty解：32-oy3其振动方程为：]32)10(cos[02.0-xty波动方程：X=5(m)处，由旋转矢量法可知，2232)1050(-37即：1）利用旋转矢量法求出O点的初位相为：o)(cmy)(mxsmu/101-25)3237cos(02.0-ty（2）O点的振动方程为：]32)10(37cos[02.0-xty（3）波动方程：)(762sT例5：在x=-1m处有一波源发出平面简谐波，波源的振动方程为：，波速为U=3.0m/s，求在x-1m区域的波动方程。))(33cos(mtAy解：]3)31||(3cos[--xtAy)33cos[xtA)343cos[xtA1）给出下列波函数所表示的波的传播方向和点的初相位.0x)(π2cosxTtAy--)(cosuxtAy---2）平面简谐波的波函数为式中为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为的两点间的相位差.)cos(CxBtAy-CBA,,d)cos(CxBtAy-)(π2cosxTtAy-Cπ2BTπ2CBTudCdπ2讨论)π,(向x轴正向传播)π,(向x轴负向传播3）如图简谐波以余弦函数表示，求O、a、b、c各点振动初相位.)π~π(-OyxuabcAA-t=T/4t=0πo2πa0b2π-cOyAOyAOyAOyA§10.3波动方程与波速•平面简谐波的波方程是平面简谐波的运动学方程，而波动方程是波的动力学方程，波的运动学方程应该是波的动力学方程的解。•仅从运动学角度研究波，我们只能知道波的运动规律，不能了解波的传播机制，也不清楚波传播的速度是由什么决定的。因此，我们还要对波进行动力学分析。一、波动方程的建立xxxxxyNsf右面受力)0(||22---xxxyNsxxNsxyxyNsffxxyxxxyxxxxxx据牛二定律2222tyxsxxyNs弹性横波：①2222xyNtyxxxxxxyxxyxxyxytg-00)()(limlim体元切变角：以弹性横波为例，图中虚线为一细条弹性媒质，有一弹性横波在媒质中传播，实线表示弹性媒质在t时刻的波形图，在x处选一微小体元为研究对象：xxxxxyNssNsf左面受力xxvψyfxfx+ΔxΔyx+Δx二、各种弹性波的波速设波方程：)(cos)(cos)(cosxVtkAtkVAtAyVxVx---TYVV绳纵代入③中可得：代入②中可得：,如代入①中，有：NNNVVxVtk