(线性代数)第三章 线性方程组

教学内容和基本要求教学内容学时数§3.1线性方程组和高斯消元法2§3.2齐次线性方程组§3.3非齐次线性方程组2第三章线性方程组第三章线性方程组§3.1线性方程组和高斯消元法一.线性方程组的概念二.高斯消元法§3.2齐次线性方程组一.齐次线性方程组有非零解的条件二.齐次线性方程组解的结构三.基础解系一.基本概念a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)Ax=b系数矩阵(A,b)增广系数矩阵第三章线性方程组§3.1线性方程组和高斯消元法,设A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amnb=b1b2…bm,x=x1x2…xn,第三章线性方程组§3.1线性方程组和高斯消元法线性方程组的分类齐次线性方程组(b=0)非齐次线性方程组(b0)线性方程组的解Ax=b无解有解(不相容)(相容)唯一解无穷多解(通解)2x13x2+4x3=4x1+2x2x3=32x1+2x26x3=2x1+2x2x3=32x13x2+4x3=4x1+x23x3=1x1+2x2x3=3x2+2x3=2x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=20=01/21轻装上阵1/22(1)1增广矩阵的初等变换阶梯形方程组阶梯形矩阵第三章线性方程组§3.1线性方程组和高斯消元法二.高斯消元法234412132262121323441131121301220122121301220000x15x3=1x2+2x3=20=0x1+2x2x3=3x2+2x3=20=0阶梯形方程组(2)x1=5x3+1x2=2x32x3=x3(任意)最简形方程组或者由此可得原方程组的通解其中c为任意数.x=5c+12c2c,第三章线性方程组§3.1线性方程组和高斯消元法105101220000行最简形矩阵可直接读出解注1.AxbAxb初等行变换两个线性方程组同解.第三章线性方程组§3.1线性方程组和高斯消元法证明：,APAbPbAxbPAxPbAxb注2.阶梯形矩阵与行最简形矩阵A为阶梯形矩阵(简称阶梯阵)零行位于最下方;主元的列标随行标递增而递增.A为行最简形矩阵(reducedrowechelonform)(rref)各非零首元(主元)全为1,主元所在的列(称为主列)除1外其余元素全为0.P可逆,s.t.,(A,b)初等行变换,Ab(A,b),Ab1.阶梯阵的形状与线性方程组的解2x1+3x2x3=12x2+x3=20=1x1x2+2x3=82x2+x3=1x3=5x1+2x2+x3+x4=2x3+4x4=30=0无解有唯一解有无穷多解解的情况Ax=bAx=b~~(A,b)~~(A,b)r2=r1+1r2=r1=3r2=r14r1=r(A)r2=r(A,b)234102120001112802110015121120014300000第三章线性方程组§3.1线性方程组和高斯消元法第三章线性方程组2.线性方程组的相容性定理.设ARmn,bRm,则(1)当r(A,b)=r(A)+1时,Ax=b无解;(2)当r(A,b)=r(A)=n时,Ax=b有唯一解;(3)当r(A,b)=r(A)n时,Ax=b有无穷多解,且通解中含有nr(A)个自由未知量.推论.设ARmn,则(1)当r(A)=n时,Ax=0只有零解;(2)当r(A)n时,Ax=0有非零解,且通解中含有nr(A)个自由未知量.§3.1线性方程组和高斯消元法第三章线性方程组§3.1线性方程组和高斯消元法一.线性方程组的概念二.高斯消元法§3.2齐次线性方程组一.齐次线性方程组有非零解的条件二.齐次线性方程组解的结构三.基础解系r2=r1+1无解r2=r1=n唯一解r2=r1n无穷多解§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组一.齐次线性方程组有非零解的条件推论3.1.设ARmn.若mn(方程的个数小于未知量的个数),则Ax=0有非零解.推论3.2.设ARnn,则Ax=0有非零解|A|=0.定理3.1.设ARmn,则Ax=0有非零解r(A)n.x11+x22+…+xnn=0令A=(1,2,…,n),则Ax=0可写成：有非零解1,2,…,n线性相关r(A)nA不可逆，退化，奇异.推论3.3.设ARnn,则Ax=0只有零解|A|0.A可逆，非退化，非奇异.第三章线性方程组例1.设有线性方程组123123123(1)0(1)0(1)0xxxxxxxxx问为何值时,此方程组(1)有非零解;(2)只有零解?解:对系数矩阵A作初等行变换,化为阶梯阵.r1r3r2r1r3(1+)r1111+00(2+)1+1111+1111+A=111+11+11+11111+000(3+)r3+r2当=0或=3时,r(A)3,有非零解;当0且3时,r(A)=3,只有零解.§3.2齐次线性方程组二.齐次线性方程组的解的结构性质1若,是Ax=0的解,则k+l也是Ax=0的解.事实上,A(k+l)=kA+lA=0.2.Ax=0的一组解1,2,…,s称为一个基础解系:(1)1,2,…,s线性无关;(2)Ax=0的任一解都可由1,2,…,s线性表示.那么该方程组的通解就可表示成x=k11+k22+…+kss,其中k1,k2,…,ks为常数.这种形式的通解称为Ax=0的结构式通解.第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组V={xRn|Ax=0}齐次线性方程组的解空间2.Ax=0的一组解1,2,…,s称为一个基础解系:(1)1,2,…,s线性无关;(2)Ax=0的任一解都可由1,2,…,s线性表示.Ax=0的结构式通解可表示成x=k11+k22+…+kss,其中k1,k2,…,ks为常数.注1：基础解系是Ax=0解向量组的极大无关组，所以基础解系不唯一，且任意两个基础解系等价；注2：Ax=0解向量组的秩是基础解系含有的向量的个数，即nr(A).第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组定理3.2.设ARmn,r(A)=r.若rn,则Ax=0的任一基础解系中均含有nr个解向量.x1=c1,r+1xr+1+c1,r+2xr+2+…+c1nxnx2=c2,r+1xr+1+c2,r+2xr+2+…+c2nxn………………………xr=cr,r+1xr+1+cr,r+2xr+2+…+crnxnxr+1=xr+1xr+2=xr+2xn=xn………………………nr个自由未知量第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组A初等行变换B证明：B为行最简形矩阵r(B)=r(A)=rBx=0有nr个自由未知量.(1)第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组定理3.2.设ARmn,r(A)=r.若rn,则Ax=0的任一基础解系中均含有nr个解向量.=xr+1+xr+2+…+xnx1x2…xrxr+1xr+2…xnc1,r+1c2,r+1…cr,r+110…0c1,r+2c2,r+2…cr,r+201…0c1nc2n…crn00…1线性无关增维也无关=xr+11+xr+22+…+xnn-r1,2,…,n-r线性无关12…rr+1…nkr+1kr+2…knc1,r+1c2,r+1…cr,r+110…0c1,r+2c2,r+2…cr,r+201…0c1nc2n…crn00…1第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组定理3.2.设ARmn,r(A)=r.若rn,则Ax=0的任一基础解系中均含有nr个解向量.=kr+11kr+22…knn-r设为Ax=0的任意解，令k1k2…krkr+1…kn=0=0=kr+11+kr+22+…+knn-r=定理3.2.设ARmn,r(A)=r.若rn,则Ax=0的任一基础解系中均含有nr个解向量.1=c1,r+1r+1+c1,r+2r+2+…+c1nn2=c2,r+1r+1+c2,r+2r+2+…+c2nn………………………r=cr,r+1r+1+cr,r+2r+2+…+crnnr+1=r+1kn=n………………………nr个自由未知量第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组证明：注意到为Ax=0的解，则满足(1)式，即r+1=r+2=…=n=01=2=…r=0.为一基础解系，第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组定理3.2.设ARmn,r(A)=r.若rn,则Ax=0的任一基础解系中均含有nr个解向量.c1,r+1…cr,r+110…0c1,r+2…cr,r+201…0c1n…crn00…11=,2=,nr=含有nr个解向量.设1,2,,t为任一基础解系.则1,2,,t线性无关，且与1,2,nr等价.t=nr即任一基础解系中均含有nr个解向量.性质1.与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.性质2.若ARmn,r(A)=r,则Ax=0的任意nr个线性无关的解向量都是Ax=0的基础解系.3.解Amnx=0的一般步骤A初等行变换行阶梯阵r(A)n?行最简形取非主列对应的变量为自由未知量;令其为e1,,en-r,求得通解.只有零解N初等行变换Y第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组例2.求0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解.解:111125327731初等行变换102/73/7015/74/70000该方程组的基础解系可取为通解为12,1001121211342/73/75/74/7,(,R).1001xxccccxx2/75/73/74/7第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组取x3,x4为自由未知量,例3.求解齐次线性方程组Ax=0，即Tx=0.2112121222212nnnnnaaaaaaaaaaAaaaaa121100,,,010001n21aa31aa1naa若向量Rn,0,A=T,求r(A)=,|A|=.1012000,000naaa1rA10a基础解系中有n-1个解,设是Ax=0的解.12120ttABABBBABABAB证明：rBnrA12,,,tBBB可由Ax=0的基础解系线性表示.12,,,tBBBrArBn第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组例4.ARsn,BRnt.若AB=0,则r(A)+r(B)n.§3.1线性方程组和高斯消元法一.线性方程组的概念二.高斯消元法§3.2齐次线性方程组一.齐次线性方程组Amnx=0有非零解的条件二.齐次线性方程组解的结构三.基础解系r2=r1+1无解r2=r1=n唯一解r2=r1n无穷多解•r(A)n()•mn•|An|=0()本质是解向量组的极大无关组,秩为n-r(A)求解Ax=0:1.对A作初等行变换化为阶梯阵(rref)2.取非主列对应变量为自由变量;令为e1,,en-r,得通解