【优化方案】2012高考数学总复习 第3章第7课时正弦定理和余弦定理课件 理 新人教B版

第7课时正弦定理和余弦定理考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考第7课时双基研习•面对高考正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容______________＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝_______________；b2＝_______________；c2＝________________.b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC双基研习•面对高考基础梳理asinA＝bsinB＝csinC定理正弦定理余弦定理变形形式a＝________，b＝________，c＝_________；sinA＝______，sinB＝_____，sinC＝_________；a∶b∶c＝_______________；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA.cosA＝________；cosB＝_______；cosC＝_______.2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab提示：充要条件．因为sinAsinB⇔a2Rb2R⇔ab⇔AB.思考感悟在△ABC中，“sinAsinB”是“AB”的什么条件？1．(教材习题改编)已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°答案：C课前热身3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是()A.334B.1532C.1534D.15382．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°答案：C答案：C4．(2010年高考广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinA＝________.答案：125．在△ABC中，如果A＝60°，c＝2，a＝6，则△ABC的形状是________．答案：直角三角形利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．考点探究•挑战高考考点突破正弦定理的应用(1)(2010年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．(2)满足A＝45°，a＝2，c＝6的△ABC的个数为________．【思路分析】(1)先求出角B，再利用正弦定理求角A；(2)直接利用正弦定理求解．例1【解析】(1)∵sinB＋cosB＝2sinπ4＋B＝2，∴sinπ4＋B＝1.又0Bπ，∴B＝π4.由正弦定理，得sinA＝asinBb＝2×222＝12.又ab，∴AB，∴A＝π6.(2)由正弦定理得asinA＝csinC，故2sin45°＝6sinC，即sinC＝32，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，可得B＝75°；当C＝120°时，可得B＝15°.显然这两解均符合题意，故这样的三角形有2个．【答案】(1)π6(2)2【方法总结】已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对角的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．余弦定理的应用在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b的值；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．例2【思路分析】由正、余弦定理及面积公式列关于a，b的方程组．【解】(1)由余弦定理得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，得ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由正弦定理，已知条件可化为b＝2a，联立方程组a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得a＝233，b＝433.所以△ABC的面积S＝12absinC＝233.【规律小结】余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，在能够确定三边的情况下求三角形的面积，只要再求得三角形的一个角就可以了．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．三角形形状的判定(2010年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【思路分析】(1)把角的三角函数化为边，(2)把边化为角的三角函数．例3【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．【思维总结】判断三角形的形状，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．解：由sinC＝2sin(B＋C)cosB，得sinC＝2sinAcosB.再结合正、余弦定理得：c2R＝2·a2R·a2＋c2－b22ac，整理得a2＝b2，所以△ABC是等腰三角形．互动探究若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．方法技巧解三角形常见题型及求解方法(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及asinA＝bsinB＝csinC，可求出角C，再求出b，c.(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA,求出a，再由正弦定理，求出角B，C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.方法感悟(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理asinA＝bsinB求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由asinA＝csinC，求出c，而通过asinA＝bsinB求B时，可能出现一解，两解或无解的情况(如例1(2))，其判断方法如下表：A90°A＝90°A90°ab一解一解一解a＝b无解无解一解ab无解无解absinA两解a＝bsinA一解absinA无解1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sinA2＝cosB＋C2，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等．3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．失误防范从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题，2010年很多高考卷都进行了考查．预测2012年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．考向瞭望•把脉高考考情分析(本题满分12分)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝513，cos∠ADC＝35，求AD的长．例规范解答【解】由cos∠ADC＝350知∠Bπ2，由已知得cosB＝1213，sin∠ADC＝45，4分从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝45×1213－35×513＝3365.9分由正弦定理得ADsinB＝BDsin∠BAD，所以AD＝BD·sinBsin∠BAD＝33×5133365＝25.12分【名师点评】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查．本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分．出错的原因主要是计算问题．1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－223B.223C．－63D.63名师预测解析：选D.由正弦定理得15sin60°＝10sinB，∴sinB＝10·sin60°15＝10×3215＝33.∵ab，A＝60°，∴B为锐角．∴cosB＝1－sin2B＝1－332＝63.2．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S△ABC＝a2＋b2－c24，那么角C＝________.解析：由12absinC＝a2＋b2－c24得sinC＝a2＋b2－c22ab.根据余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab，得sinC＝cosC，即tanC＝1，故C＝π4.答案：π43．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acosC＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，S△ABC＝334，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，由正弦定理得，(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，即sinB(2cosA－1)＝0.∵0Bπ，∴sinB≠0，∴cosA＝12.∵0Aπ，∴A＝π3.法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，由余弦定理得，(2b－c)·b2＋c2－a22bc－a·a2＋b2－c22ab＝0，整理得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.∵0Aπ，∴A＝π3.(2)∵S△ABC＝12bcsinA＝334，即bcsinπ3＝332，∴bc＝3，①∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6，②由①②得b＝c＝3，∴△ABC为等边三角形．本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用