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§10.6离散型随机变量及其分布列考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§10.6离散型随机变量及其分布列双基研习•面对高考1．离散型随机变量随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量，常用字母____________…表示．所有取值可以___________的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表双基研习•面对高考基础梳理X、Y、ξ、η一一列出Xx1x2…xi…xnPp1p2…__…__pipn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式_________________________表示X的分布列．P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n3．离散型随机变量分布列的性质(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)∑ni＝1pi＝1.4．超几何分布列一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为______________________________其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋，称此分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN思考感悟如何求离散型随机变量的分布列？【思考·提示】首先确定随机变量的取值，求出离散型随机变量的每一个值对应的概率，最后列成表格即得出其分布列．课前热身1．(2011年合肥调研)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝c·(23)i，i＝1,2,3，则c的值为()A.1738B.2738C.1719D.2719答案：B2．下列能成为随机变量X的分布列的是()A.X01P0.60.3B.X012P0.90250.0950.0025C.X012…nP121418…12nD.X012…nP1313·2313(23)2…13(23)n答案：B3．若随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝()A.19B.16C.13D.14答案：C4．(原创题)从6名教师和10名学生中任选3人参加运动会，则所选3人中至少有2名学生的概率是________．答案：39565．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．答案：－1,0,1,2,3考点探究•挑战高考考点突破离散型随机变量的分布列1．分布列有两种常见表示形式，即表格和等式表示．在分布列的表格表示中，结构为2行n＋1列，第1行表示随机变量的取值，第2行是对应的变量的概率．2．求分布列分为以下几步：(1)明确随机变量的取值范围；(2)求出每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格．连续掷两枚均匀的骰子各一次，点数之和为随机变量X.(1)求随机变量X的分布列；(2)求“点数之和大于8”的概率；(3)求“点数之和不超过6”的概率．【思路点拨】求得随机变量X的一切可能取值后，利用古典概型的计算方法算得概率，从而求得X的分布列，及相应事件的概率．例1【解】(1)X的所有可能取值及对应概率如下：P(X＝2)＝1×16×6＝136，P(X＝3)＝236，P(X＝4)＝336，P(X＝5)＝436，P(X＝6)＝536，P(X＝7)＝636，P(X＝8)＝536，P(X＝9)＝436，P(X＝10)＝336，P(X＝11)＝236，P(X＝12)＝136.故X的分布列如下：(2)P(X8)＝P(X＝9)＋P(X＝10)＋P(X＝11)＋P(X＝12)＝436＋336＋236＋136＝1036＝518.(3)P(X≤6)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝136＋236＋336＋436＋536＝1536＝512.【名师点评】(1)所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果．(2)对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．变式训练1某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；(3)设随机变量X表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求X的分布列．解：(1)记“射手射击1次，击中目标”为事件A，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率为：P1＝P(A·A·A)＋P(A·A·A)＋P(A·A·A)＝35×35×25＋25×35×35＋35×35×35＝63125.(2)射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率P2＝C23×(35)2×25×35＝162625.(3)由题设，“X＝k”的概率为P(X＝k)＝C2k－1×(35)2×(25)k－3×35＝C2k－1×(25)k－3×(35)3(k∈N＋且k≥3)．所以，X的分布列为：分布列的性质及其应用离散型随机变量的两个性质主要解决以下两类问题：(1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求得概率，得出分布列．(2)求对立事件的概率或判断某概率的成立与否．设离散型随机变量X的分布列为例2X01234P0.20.10.10.3m求2X＋1的分布列．【思路点拨】先由分布列的性质，求出m，由函数对应关系求出2X＋1的值及概率．【解】由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579从而由上表得2X＋1的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3【名师点评】(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)若X是随机变量，则2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量，求它们的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．超几何分布超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型，其中的随机变量相应是正品(或次品)的件数、某种小球的个数．如果一随机变量X服从超几何分布，那么事件{X＝k}发生的概率为P(x＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m.某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列．【思路点拨】随机变量X服从超几何分布，可直接代入超几何分布的概率公式求得．例3【解】依题意随机变量X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝Ck6C4－k4C410(k＝0,1,2,3,4)∴P(X＝0)＝C06C44C410＝1210，P(X＝1)＝C16C34C410＝435，P(X＝2)＝C26C24C410＝37，P(X＝3)＝C36C14C410＝821，P(X＝4)＝C46C04C410＝114，∴X的分布列为X01234P121043537821114【名师点评】对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．变式训练2在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．解：根据题意，摸到的红球个数X为随机变量，且X服从参数为N＝30，M＝10，n＝5的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4,5，则可得至少摸到3个红球的概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝C310C5－330－10C530＋C410C5－430－10C530＋C510C5－530－10C530≈0.1912.故中奖的概率约为0.1912.方法技巧1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．(如例1)2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率．(如例1)方法感悟3．解答超几何分布问题，关键是分清各个量之间的关系，弄清随机变量的取值．(如例3)4．离散型随机变量的分布列的两个本质特征：pi0(i＝1,2，…)与p1＋p2＋…＝1不仅可以检验分布列写的是否正确，还可以确定分布列中参数的值．(如例2)失误防范掌握离散型随机变量的分布列，须注意(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．本节知识是每年高考必考的知识点之一，考查重点是离散型随机变量的分布列及其性质和超几何分布列，题型为解答题，属中档题，常与排列组合、概率、均值与方差等知识结合考查．以考查基本知识、基本概念为主．预测2012年高考中，离散型随机变量的分布列仍然是考查的热点，同时应注意概率与分布列相结合的题目，重点考查运算能力和理解能力．考情分析考向瞭望•把脉高考(2009年高考上海卷改编)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，求随机变量X的概率分布列．【思路点拨】找出随机变量的取值，求出取各个值的概率，从而求出X的分布列．例真题透析【解】X可取0,1,2，又P(X＝0)＝C25C27＝1021，P(X＝1)＝C15C12C27＝1021，P(X＝2)＝C22C27＝121，故X的分布列如下：X012P10211021121【误区警示】本题容易和独立重复试验相混淆，原因是抽取女生时，是不能重复抽取的，即当女生甲被抽出后，再次抽取时就不可能再抽取到女生甲，解决这类超几何分布问题时要注意这个问题．某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元时的一等品数．名师预测解：(1)由题意知，X的可能取值为10,5,2，－3.P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02，所以X的分布列为X1052－3P0.720.180.080.02(2)设生产的4件甲产品中一等品有n(n≤4且n∈N＋)件，则二等品有(4－n)件．由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥145.又n≤4且n∈N＋，得n＝3或n＝4.所以所求一等品数为3或4.