手机套餐”最优消费的数学模型

手机“套餐”最优消费的数学模型朱长青（模具0602）王法军（网络0601）常瑞杰（数控设备0601）摘要近年来，手机用户群增加，通讯公司纷纷推出了自家的促销计划，研究了现行的手机套餐优惠计划,建立话费和通话时间的数学模型,提出了新的套餐的设置建议。首先列出话费和通话时间的分段函数，并应用matlab软件画图分析北京和上海各“套餐”的话费情况,解决了每种“套餐”适用于哪种人群。然后应用层次分析法,通过计算结果比较了北京、上海“套餐”和现行的资费（全球通）的优劣,通过比较可知上海“套餐”是最优的“套餐”，并依此对三者进行分析、比较，给出了合理的评价再次应用matlab软件画出现行全球通、新推出的全球通“被叫全免费计划”与北京全球通“畅听99套餐”方案的话费与通话时间关系图。对新的套餐方案做出了评价并说明了理由。最后应用层次分析法，并参照2007年中国通信业统计资料和中国移动手机的资费方案，以及北京、上海的实际情况设计出了合理的“套餐”方案，命名为“2008年奥运卡”。关键词:分段函数Matlab软件层次分析法正互反矩阵1问题重述手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，所以资费问题成为人们关心的热点问题，即在相同的通话时间，最少的话费，相同的话费，最长的通话时间。现在提供了几种不同的套餐和业务，建立数学模型分析研究以下问题：（1）北京、上海各“套餐”方案的资费，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？（2）提出你们对各种资费方案的评价准则和方法，据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。（3）北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。你们又如何评价这个方案？并说明理由。（4）如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机资费方案，你们会考虑哪些因素？根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有的“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下，用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案。2问题假设2.1在画分段函数图形时不考虑相同资费影响。2.2全球通与动感地带、神州行是并列的独立的。2.3北京上海的套餐上没有标明的资费按全球通现行资费标准收费。3名词解释和符号说明3.1层次分析法简介层次分析法（AHP）是20世纪70年代初由美国运筹学家、匹兹堡大学教授T.L.Saaty提出的一种定性分析和定量分析相结合的系统分析方法，它是将半定性、半定量的问题转化为定量计算的一种行之有效的方法。层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据，它特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题，因此在资源分配、选优排序、政策分析、冲突求解以及预报等领域得到广泛的应用。层次分析法的基本思想是：根据多目标评价问题的性质和总目标把问题本身按层次进行分解，构成一个由下而上的阶梯层结构。层次分析法的基本步骤为：①明确问题②建立层次结构模型③构造判断矩阵④层次单排序⑤层次总排序，通过以上5个步骤计算各层次构成对于总目标的组合权重，从而得出不同可行方案的综合评价值，为选择最优方案提供依据。3.2正互反矩阵：判断矩阵具有下述性质：10,,1;(,1,2,)ijjiiiijaaaijna称满足上述性质的矩阵A为正互反矩阵。3.3符号约定：y—总话费x—总通话时间O—目标层C—准则层P—措施层CR—一致性比率CI—一致性指标RI—随机一致性指标iA--矩阵iW--判断矩阵的权重max--最大特征值4模型建立4.1问题一的分析、建模与求解商家都是以赢利为目的，通讯公司的做法无可厚非。作为一个普通消费者，应该根据自身实际情况理性选择套餐方案。以下是根据总话费和通话时间建立数学模型。由附件二（中国移动手机的资费方案）分析可知，由于用户每月打电话分钟数不定即是否超出套餐部分本地主叫资费不定，所以话费与通话时间函数为分段函数（给出函数表达式时，相同IP资费不予考虑）。数学模型如下：设yi为总花费（元）；x为总通话时间（分）4.1.1北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案（1）99元套餐：)280)(280(35.099)2800(991xxxy（2）139元套餐：)560)(560(25.0139)5600(1391xxxy（3）199元套餐：)1000)(1000(2.0199)10000(1993xxxy（4）299元套餐：)2000)(2000(15.0299)2000(2994xxxy由(1)～(4)式子可用matlab软件画出：北京“畅听99套餐”时间与话费关系图图1北京“畅听99套餐”时间与话费关系图备注：使用时间x为取整法得到的结果。图1Matlab程序见附录1。由图1分析可知：a、99元套餐3950x，此套餐适合日平均通话13分钟左右的用户群。b、139元套餐800395x，此套餐适合日平均通话13—27分钟左右的用户群。c、199元套餐1500800x，此套餐适合日平均通话27—50分钟左右的用户群。d、299元套餐x1500，此套餐适合日平均通话50分钟以上的用户群。4.1.2上海移动公司“全球通68套餐”方案：68元套餐：)360)(360(18.068)3600(681xxxy……………………（1）128元套餐：)800)(800(16.0128)8000(1282xxxy……………………（2）188元套餐：)1200)(1200(13.0188)12000(1883xxxy…………………（3）同理由（1）～（3）式子可用matlab软件画出：上海“全球通68套餐”时间与话费关系图图2上海“全球通68套餐”时间与话费关系图备注：使用时间x为取整法得到的结果。图2的Matlab软件程序见附录2由图分析可知：a、68元套餐6930x，此套餐适合日平均通话23分钟左右的用户群。b、8元套餐1175693x，此套餐适合日平均通话23—39分钟左右的用户群。c、188元套餐x1175,此套餐适合日平均通话39分钟以上的用户群。4.2问题二的分析、建模与求解以主叫、被叫、IP、短信、GPRS作为对各种资费方案的评价准则，应用层次分析法，建立以后的层次结构模型。参考附件二（中国移动手机的资费方案）（1）顾客的满意度，可以建立起本问题的层次结构模型，如图顾客满意度主叫c1GPRSc5短信c4IPc3被叫c2北京99套餐p1现行全球通p3上海68套餐p2目标层O准则层C措施层P图中的连线反映了各因素的关联关系（2）构造O-C、C-P判断矩阵关于ija的确定T.L.Saaty引用了数字9~1及其倒数作为标度。参见表1。表1判断矩阵标度及含义标度含义135792，4，6，8倒数jia表示两因素相比，具有“同样”的重要性表示两因素相比，前一因素比后一因素“稍微”重要表示两因素相比，前一因素比后一因素“明显”重要表示两因素相比，前一因素比后一因素“强烈”重要表示两因素相比，前一因素比后一因素“极端”重要上述两相邻判断的中值因素i与因素j比较得出判断ija，则因素j与因素i比较得出判断jia目标层0对准则层C的判断矩阵：（matlab程序见附录3）18/122/19/1816322/16/115/17/123/1513/192/17311A准则层C对措施层P的判断矩阵14/124132/13/112A15/15/15115113A1121122/12/114A1111111115A119/1119/19916A（3）判断矩阵的一致性检验。利用matlab求出最大特征值max（求此值的Matlab程序见附件3）RI的值由表2可查得表2平均随机一致性指标RIn1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.511maxnnCIRICICR把CR的结果于0.1作比较可以判断其一致性表3判断矩阵nmaxCIRICRA155.22150.05541.120.0494A233.10780.05390.580.0900A333.00000.00000.580.0000A433.00000.00000.580.0000A533.00000.00000.580.0000A633.00000.00000.580.0000可见，6个判断矩阵的一致性比率有CR0.10,即均可通过一致性检验。（4)求权向量一般地，判断矩阵A的关于最大特征值max的归一化特征向量W反映了各因子对某因素的影响权重，称为权向量，本文中各判断矩阵的最大特征值max的归一化特征向量为下表：表4判断矩阵max权向量1A5.2215T)06.042.004.014.034.0(2A3.1078T)22.063.015.0(3A3.0000T10.045.045.04A3.0000T40.040.020.05A3.0000T33.033.033.06A3.0000T09.009.082.0（4）求各判断矩阵的权重%6%42%4%14%34543211、P2、P3对目标层的权重，得出表5P层对目标层的权重等于51ijipc（j=1，2，3）表5C134%C214%C34%C442%C58%措施层（P层）对目标层的权重P115%45%20%33%82%31%P263%45%40%33%9%44%P322%10%40%33%9%25%根据P层对于目标层的权重可以看出上海推出的“套餐”对“顾客的满意度”权重最大为44%即它是最受欢迎的，其次是北京推出的“套餐”，占31%，第三为现行全球通“套餐”占25%。4.3问题三的分析、建模与求解全球通“被叫全免计划”方案的话费与时间函数关系：xy4.050；要想对新方案做出合理评价，需要在同等条件下将新方案与现有方案做比较（全球通“被叫全免计划”方案与北京“畅听99”、北京现行全球通资费比较），应用图像进行直观的比较方法，以下就是建立的图像数学模型，并根据图像进行分析做出了合理的评价。模型：C层P层0500100015002000250005001000150020002500394800150099139199299y(元/月)x(分钟)123图3全球通“被叫全免计划”与北京“畅听99”、北京现行全球通资费比较图备注：图3的Matlab程序见附录4由图3可观察出全球通“被叫全免计划”方案明显好于现行全球通方案；而全球通“被叫全免计划”方案与北京“畅听99”的比较要按照通话时间来分析（如果通话时间是每月在0-123分钟内即日平均通话4分钟左右的用户用全球通“被叫全免计划”方案最划算，否则用北京“畅听99”划算）；以上两种比较可以说明全球通“被叫全免计划”方案在一定条件下对于用户来说是有很大满意度的。对于它要求用户至少在网一年，这样大大地增加了用户的粘性，以上是对新方案的评价分析。4.4问题四的分析、建模与求解要设计一种新的资费方案必须对市场进行调查分析，求出影响因素在设计时占的权重，在参考附件1附件2的前提下结合实际情况，利用层次分析法对那些因素进行了科学有效分析计算，以下为建立的层次结构模型：在设计全球通资费方案时考虑的因素是它的商业应用、娱乐应用和家庭应用构造O-C判断矩阵1A（Matlab程序见附录3）目标层O措施层P准则层C时段优惠p1漫游p7设计合理的“套餐”方案商业应用c1娱乐应用c2家庭应用c3主叫p3被叫p4IPp5GPRSp66短信p2