2014・新课标高考总复习・数学2-11导数的概念及运算

抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）第十一节导数的概念及运算抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数（1）定义(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点处的．(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为．(x0，f(x0))切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）二、基本初等函数的导数公式抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）（3）[fxgx]′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．三、导数的运算法则及复合函数的导数1．导数的运算法则（1）[f(x)±g(x)]′＝．(2)[f(x)·g(x)]′＝．2．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)yu′·ux′y对uu对x抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[疑难关注]曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线唯一，当f′(x0)存在时，切线的斜率k＝f′(x0)．曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．(2011年高考江西卷)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.1e解析：由y′＝ex，得在点A(0,1)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝e0＝1，∴选A.答案：A抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．(2013年郑州模拟)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,2)，则ab＝()A．－8B．－6C．－1D．5解析：由题意得y＝kx＋1过点A(1,2)，∴2＝k＋1，即k＝1.∵曲线y′＝3x2＋a，又∵直线y＝kx＋1与曲线相切于点(1,2)，∴y′＝k，且y′|x＝1＝3＋a，即1＝3＋a，∴a＝－2，代入曲线方程y＝x3＋ax＋b，可解得b＝3.∴ab＝(－2)3＝－8.故选A.答案：A抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）3．(课本习题改编)函数y＝x3·ax的导数是()A．(3＋xlna)x2axB．(3＋lna)x3axC．(3＋lna)xaxD．(3＋lna)ax解析：∵y＝x3·ax，∴y′＝(x3·ax)′＝(x3)′ax＋x3(ax)′＝3x2ax＋x3·axlna＝(3＋xlna)x2ax.选A.答案：A抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）4．(课本习题改编)已知函数f(x)＝13－8x＋2x2，且f′(x0)＝4则x0的值为________．解析：∵f′(x)＝－8＋22x，∴－8＋22x0＝4.∴x0＝32.答案：325．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－x上，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则切线方程为________．解析：由y＝x3－x得y′＝3x2－1，令P(x0，y0)，则3x－1＝2，所以x0＝±1，即切点P的横坐标为±1，纵坐标为0，故所求的切线方程为y＝2(x±1)，即2x－y＋2＝0或2x－y－2＝0.答案：2x－y＋2＝0或2x－y－2＝0抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向一导数的运算[例1]求下列函数的导数：(1)y＝xx2＋1x＋1x3；(2)y＝x－sinx2cosx2；(3)y＝(x＋1)1x－1.[解析](1)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(2)先使用三角公式进行化简，得y＝x－sinx2cosx2＝x－12sinx，抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）∴y′＝x－12sinx′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.(3)先化简，y＝x·1x－x＋1x－1＝－x12＋x－12，∴y′＝－12x－12－12x－32＝－12x1＋1x.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．(2013年深圳模拟)函数f(x)＝sinxx的导数是()A.xsinx＋cosxx2B.xcosx＋sinxx2C.xsinx－cosxx2D.xcosx－sinxx2解析：f′(x)＝xcosx－sinxx2.答案：D抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向二导数的几何意义[例2](1)(2013年太原模拟)曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0D．3x－y＋1＝0(2)(2013年银川检测)若曲线f(x)＝xsinx＋1在点π2，π2＋1处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝()A．－2B．－1C．1D．2[解析](1)依题意得y′＝cosx＋ex，又曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线的斜率为cos0＋e0＝2，因此该切线方程是y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.选C.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）(2)由f′(x)＝sinx＋xcosx，得f′π2＝1，即函数f(x)＝xsinx＋1在点π2，π2＋1处的切线的斜率为1，又因为直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－a2，所以－a2×1＝－1，所以a＝2.[答案](1)C(2)D抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．(2013年衡阳模拟)已知函数f(x)＝ex，则当x1x2时，下列结论正确的是()A．ex1fx1－fx2x1－x2B．ex1fx1＋fx2x1＋x2C．ex2fx1－fx2x1－x2D．ex2fx1＋fx2x1＋x2解析：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，则ex2表示曲线f(x)＝ex在B点处的切线的斜率，而fx1－fx2x1－x2表示直线AB的斜率，由数形结合可知：ex2fx1－fx2x1－x2，故选C.答案：C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向三导数几何意义的综合应用[例3](2013年济南模拟)已知函数f(x)＝mx3＋2nx2－12x的减区间是(－2,2)．(1)试求m，n的值；(2)过点A(1，t)是否存在与曲线y＝f(x)相切的3条切线，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析](1)由题意知：f′(x)＝3mx2＋4nx－120的解集为(－2,2)，所以－2和2为方程3mx2＋4nx－12＝0的两个根，由根与系数的关系知0＝－4n3m，－4＝－123m，即m＝1，n＝0.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）(2)存在满足条件的三条切线．设点P(x0，f(x0))是曲线f(x)＝x3－12x的切点，则在P点处的切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，即y＝3(x20－4)x－2x30.因为其过点A(1，t)，所以t＝3(x20－4)－2x30＝－2x30＋3x20－12，因为有三条切线，所以方程应有3个实根，设g(x)＝2x3－3x2＋t＋12，故只要使此曲线有3个零点即可．令g′(x)＝6x2－6x＝0，∴x＝0或x＝1分别为g(x)的极值点，当x∈(－∞，0)和(1，＋∞)时，g′(x)0，g(x)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）当x∈(0,1)时，g′(x)0，g(x)在(0,1)上单调递减，所以，x＝0为极大值点，x＝1为极小值点．所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当g00，g10，即t＋120，t＋110，解得－12t－11.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）在本例条件下，求过点A(1，－11)且与曲线y＝f(x)相切的切线方程．解析：由例3知m＝1，n＝0.∴f(x)＝x3－12x.∴f′(x)＝3x2－12，∵f(1)＝13－12×1＝－11，∴当A为切点时，k＝f′(1)＝－9.∴切线方程为9x＋y＋2＝0.当A不为切点时，设切点P(x0，f(x0))，∴k＝f′(x0)＝3x20－12.∴切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，即y＝3(x20－4)x－2x30.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）∵切线过点A(1，－11)，代入得2x30－3x20＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴x0＝1或x0＝－12，即P(－12，478)．k＝f(－12)＝－454.∴切线方程为45x＋4y－1＝0.所以过A(1，－11)的切线为9x＋y＋2＝0或45x＋4y－1＝0.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）【易错警示】忽视判断点是否为切点而致误【典例】(2013年上海徐汇摸底)已知函数f(x)＝x3－3x，过点P(－2，－2)作曲线y＝f(x)的切线，则切线的方程为________．【错解】由f(x)＝x3－3x知f′(x)＝3x2－3，∴k＝f′(－2)＝3×4－3＝9.∴切线方程为y＋2＝9(x＋2)，∴y＝9x＋16.【错因】上述解法中易认为P(－2,2)是曲线切线的切点，从而导致解答中缺少一种解的可能性．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）【防范指南】求曲线的切线方程时要注意过某点的切线问题中此点不一定是切点，此点也