2014・新课标高考总复习・数学2-4函数的奇偶性与周期性

抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）第四节函数的奇偶性与周期性抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）一、函数的奇偶性抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）二、周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．[疑难关注]1．奇偶性与单调性利用奇、偶函数图象特征可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．f(x＋T)＝f(x)存在一个最小最小正数抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．奇函数与偶函数的几个重要性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．周期性常用的结论若f(x)在定义域内任一自变量的值x满足：(1)f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)f(x＋a)＝1fx，则T＝2a；(3)f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．(课本习题改编)下列函数中，是偶函数的是()A．f(x)＝x＋1xB．f(x)＝x3－2xC．f(x)＝1x2D．f(x)＝x4＋x3解析：由奇、偶函数的定义知，A、B为奇函数，C为偶函数，D为非奇非偶函数．答案：C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）解析：函数为偶函数，则f(－x)＝f(x)，故排除B，D.C选项中y＝x2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意．故选A.答案：A2．(2011年高考上海卷)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x13抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）3．(2013年青岛模拟)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：由f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，可知f(x)为偶函数，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)可知g(x)为奇函数．答案：B抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）4．(课本习题改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b＝________.5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(8)＝________.解析：由f(x)的定义域为R且是奇函数知f(0)＝0，又f(x＋2)＝－f(x)，∴T＝4，故f(8)＝f(0)＝0.答案：0解析：依题意得a－1＝－2a，b＝0，∴a＝13，b＝0，∴a＋b＝13.答案：13抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向一函数奇偶性的判断[例1](2013年福州模拟)设Q为有理数集，函数f(x)＝1，x∈Q，－1，x∈∁RQ，g(x)＝ex－1ex＋1，则函数h(x)＝f(x)·g(x)()A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数也是偶函数D．既不是偶函数也不是奇函数抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[解析]当x∈Q时，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；当x∈∁RQ时，－x∈∁RQ，∴f(－x)＝f(x)＝－1.综上有，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．∵g(－x)＝e－x－1e－x＋1＝1－ex1＋ex＝－ex－11＋ex＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数．∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴函数h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数．∵h(1)＝f(1)·g(1)＝e－1e＋1，抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）h(－1)＝f(－1)·g(－1)＝1×e－1－1e－1＋1＝1－e1＋e，∴h(－1)≠h(1)，∴函数h(x)不是偶函数．综上，应选A.[答案]A抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）解析：利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断．由已知条件可知，D(x)的值域是{0,1}，选项A正确；当x是有理数时，－x也是有理数，且D(－x)＝1，D(x)＝1，故D(－x)＝D(x)，当x是无理数时，－x也是无理数，且D(－x)＝0，D(x)＝0，即D(－x)＝D(x)，故D(x)是偶函数，选项B正确；1．(2012年高考福建卷)设函数D(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数，则下列结论错误的是()A．D(x)的值域为{0,1}B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）当x是有理数时，对于任一非零有理数a，x＋a是有理数，且D(x＋a)＝1＝D(x)，当x是无理数时，对于任一非零有理数b，x＋b是无理数，所以D(x＋b)＝D(x)＝0，故D(x)是周期函数，但不存在最小正周期，选项C不正确；由实数的连续性易知，不存在区间I，使D(x)在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数，选项D正确．答案：C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向二函数奇偶性的应用[例2](1)(2012年高考上海卷)已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.(2)(2013年皖南八校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a)，则实数a的取值范围是________．[解析](1)由g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，得f(1)＝g(1)－2＝－1.∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝1＋2＝3.(2)依题意得，函数f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3－a2)＞f(2a)，只需3－a2＞2a.由此解得－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．[答案](1)3(2)(－3,1)抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．(2013年江西重点中学联考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)·(f(x1)－f(x2))0，则()A．f(3)f(－2)f(1)B．f(1)f(－2)f(3)C．f(－2)f(1)f(3)D．f(3)f(1)f(－2)解析：已知条件等价于函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由于函数f(x)是偶函数，故f(1)f(－2)f(3)．答案：B抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）3．(2013年哈九中模拟)奇函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，则在(－∞，0)上，函数f(x)的解析式是()A．f(x)＝－x(1－x)B．f(x)＝x(1＋x)C．f(x)＝－x(1＋x)D．f(x)＝x(x－1)解析：当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，由于函数f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x)．答案：B抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向三周期性问题[例3](2012年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()A．335B．338C．1678D．2012[解析]利用函数的周期性和函数值的求法求解．∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.∵当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＝1×20106＝335.而f(2011)＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＝3，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝335＋3＝338.[答案]B抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）本例条件若变为“f(x)对任意x∈R都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称且f(4)＝4”．求f(2012)的值．解析：由y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数f(x)为奇函数，在已知等式中取x＝－3，得f(3)＋f(－3)＝2f(3)，所以f(－3)＝f(3)．又f(－3)＝－f(3)，因此f(3)＝0，所以f(6＋x)＋f(x)＝0.f(12＋x)＋f(6＋x)＝0.故f(12＋x)＝f(x)．∴f(x)的一个周期为12，∴f(2012)＝f(12×168－4)＝f(－4)＝－f(4)＝－4.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）【思想方法】方程思想在函数性质中的应用【典例】(2012年高考江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x0，bx＋2x＋1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f12＝f32，则a＋3b的值为________．【思路导析】利用周期性f(x＋2)＝f(x)转换f32＝f－12，再在定义区间内取一组值代入方程组可求解．抓主干双基知能优化菜单