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两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)二倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)]cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α))tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α))sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α)cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α)tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α)半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα万能代换公式：半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]三角恒等变换的证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=acosA,BD=acosBAD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin(180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。利用正弦和余弦的定义及周期性，可证明该公式对任意角成立。于是有cos(A+B)=sin(90-A-B)=sin(90-A)cos(-B)+cos(90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB由此易得以上全部公式诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：弧度制下的角的表示：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）sec（2kπ＋α）＝secα（k∈Z）csc（2kπ＋α）＝cscα（k∈Z）角度制下的角的表示：sin(α+k·360°)＝sinα（k∈Z）cos(α+k·360°)＝cosα（k∈Z）tan(α+k·360°)＝tanα（k∈Z）cot（α+k·360°）＝cotα（k∈Z）sec（α+k·360°）＝secα（k∈Z）csc（α+k·360°）＝cscα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：弧度制下的角的表示：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsec（π＋α）＝－secαcsc（π＋α）＝－cscα角度制下的角的表示：sin（180°+α）＝－sinαcos（180°+α）＝－cosαtan（180°+α）＝tanαcot（180°+α）＝cotαsec（180°+α）＝－secαcsc（180°+α）＝－cscα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsec（－α）＝secαcsc(－α）＝－cscα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：弧度制下的角的表示：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsec（π－α）＝－secαcsc（π－α）＝cscα角度制下的角的表示：sin（180°－α）＝sinαcos（180°－α）＝－cosαtan（180°－α）＝－tanαcot（180°－α）＝－cotαsec（180°－α）＝－secαcsc（180°－α）＝cscα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：弧度制下的角的表示：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsec（2π－α）＝secαcsc（2π－α）＝－cscα角度制下的角的表示：sin（360°－α）＝－sinαcos（360°－α）＝cosαtan（360°－α）＝－tanαcot（360°－α）＝－cotαsec（360°－α）＝secαcsc（360°－α）＝－cscα小结：以上五组公式可简记为：函数名不变，符号看象限.即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：（⒈～⒋）⒈π/2＋α与α的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝—sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsec（π/2＋α）＝－cscαcsc（π/2＋α）＝secα角度制下的角的表示：sin（90°＋α）＝cosαcos（90°＋α）＝－sinαtan（90°＋α）＝－cotαcot（90°＋α）＝－tanαsec（90°＋α）＝－cscαcsc（90°＋α）＝secα⒉π/2－α与α的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsec（π/2－α）＝cscαcsc（π/2－α）＝secα角度制下的角的表示：sin(90°－α)＝cosαcos(90°－α)＝sinαtan(90°－α)＝cotαcot(90°－α)＝tanαsec(90°－α)＝cscαcsc(90°－α)＝secα⒊3π/2＋α与α的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsec（3π/2＋α）＝cscαcsc（3π/2＋α）＝－secα角度制下的角的表示：sin（270°＋α）＝－cosαcos（270°＋α）＝sinαtan（270°＋α）＝－cotαcot（270°＋α）＝－tanαsec（270°＋α）＝cscαcsc（270°＋α）＝－secα⒋3π/2－α与α的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsec（3π/2－α）＝－cscαcsc（3π/2－α）＝－secα角度制下的角的表示：sin（270°－α）＝－cosαcos（270°－α）＝－sinαtan（270°－α）＝cotαcot（270°－α）＝tanαsec（270°－α）＝－cscαcsc（270°－α）＝－secα温馨提示：1.在做题目的时候，最好将α看成是锐角。2.k∈Z总结记忆：奇变偶不变，符号看象限。奇偶是针对k而言的，变与不变是针对三角函数名而言。诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如：sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。所以sin(2π－α)＝－sinα上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。＃各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦＃还有一种按照函数类型分象限定正负：函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限正弦...........＋............＋............—............—........余弦...........＋............—............—............＋........正切...........＋............—............＋............—........余切...........＋............—............＋............—........奇变偶不变，符号看象限辅助角公式对于acosx+bsinx型函数，我们可以如此变形acosx+bsinx=√(a^2+b^2)(acosx/√(a^2+b^2)+bsinx/√(a^2+b^2))，令点(b,a)为某一角φ终边上的点，则sinφ=a/√(a^2+b^2),cosφ=b/√(a^2+b^2)∴acosx＋bsinx＝√(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b))