光纤模式理论

光纤技术基础光纤技术基础北京交通大学全光网与现代通信网教育部重点实验室2007-4-21陈根祥第三部分光纤模式理论ModeTheoryforOpticalFibers内容内内容容一．阶跃折射率光纤中的严格解与矢量模二．弱导光纤的标量近似理论与线偏振模三．光波导中模式的普遍性质四．波导横向非均匀性的微扰法处理五．纵向非均匀性与模式耦合方程六．耦合模理论的简单应用一、一、阶跃折射率光纤中的矢量模阶跃折射率光纤中的矢量模¾光纤的对称性与柱坐标系下的波动方程¾纵向均匀光波导中场的纵横关系¾Bessel方程及其解¾阶跃光纤中矢量模的场分布¾矢量模的特征方程、模式分类与命名规则¾矢量模的特性曲线¾模式的截止特性、基模与光纤的单模工作条件¾矢量模在光纤横截面上的场分布与光功率密度分布光纤的对称性及坐标系选取光纤的对称性及坐标系选取光纤的对称性及坐标系选取StepFiberIndexProfile()⎩⎨⎧≤=2121,,nnbranarnnn1n2abr¾光纤通常是指具有园对称结构的纵向均匀光波导¾具有园对称性与纵向均匀性¾通常在柱坐标系下进行分析¾只有很少几种折射率分布能够进行严格的解析分析，大多数情况下需要采用数值方法或各种近似方法对光纤的光学特性进行分析柱坐标系柱坐标系柱坐标系A(r,ϕ,z)xyzϕrzrereϕezezexeyzzyxyxreeeeeeee=+−=坐标变量：(r,ϕ,z)基矢量：(er,eϕ,ez)组成右手系与直角坐标系的关系：+=ϕϕϕϕϕcossinsincoszzryrx===ϕϕsincos()zzxyyxr==+=−122tanϕ任意矢量场E(r)柱坐标系下：E＝Erer＋Eϕeϕ＋Ezez直角坐标系下：E＝Exex＋Eyey＋Ezez⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡zyxzrEEEEEE1000cossin0sincosϕϕϕϕϕ柱坐标系下的微分算子柱坐标系下的微分算子柱坐标系下的微分算子直角坐标（x,y,柱坐标（r,ϕ,zyxeee,,zreee,,ϕzyxzyx∂∂+∂∂+∂∂ψψψeeeψ∇zrrzr∂∂+∂∂+∂∂ψϕψψϕeee1zAyAxAzyx∂∂+∂∂+∂∂A⋅∇()zAArrrArzr∂∂+∂∂+∂∂ϕϕ11zyxzyxAAAzyx∂∂∂∂∂∂eeeA×∇zrzrArAAzrrϕϕϕ∂∂∂∂∂∂eee1ψ2∇222222zyx∂∂+∂∂+∂∂ψψψ2222211zrrrrr∂∂+∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂ψϕψψ基矢量坐标变量波动方程波动方程波动方程0112202222222=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂EEEEEnkzrrrrϕ02202=+∇EEnk在柱坐标系下为：Helmholtz方程对纵向均匀光波导，波导内电磁场可描述为：()022202=−+∇EEβnkt22222211ϕ∂∂+∂∂+∂∂=∇rrrrt),,(),,(,),(),,(zrjzzrerzrzjϕβϕϕϕβEEEE−=∂∂=−波动方程可用横向微分算子表示为如下本征值方程：纵向均匀光波导n=n(u,v)内的电磁场应当满足：纵向均匀光波导中场的纵横关系纵向均匀光波导中场的纵横关系纵向均匀光波导中场的纵横关系βjz−=∂∂EHHE0ωεωμjj=×∇−=×∇ϕϕβϕϕωεHjHrzHHrEjzzr+∂∂=∂∂−∂∂=11¾纵向均匀光波导内的电磁场只有两个独立分量¾所有横向场分量均可由纵向场分量得出¾纵向均匀光波导中不存在TEM波zjzjevuevu),()(),()(ββ−−==HrHErErHHjrHzHEjzrzr∂∂−−=∂∂−∂∂=βωεϕϕβϕωμEjErHjzr+∂∂=−10rEEjHjzr∂∂−−=−βωμϕ0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−∂∂−−=rHErnkiEHrrEnkiEzzzzr0222002220ωμϕββϕωμββϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−∂∂−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂−−=rEHrnkiHErrHnkiHzzzzrωεϕββϕωεββϕ22202220重要结论：园对称光纤中纵场所满足的方程园对称光纤中纵场所满足的方程园对称光纤中纵场所满足的方程()022202=−+∇EEβnkt()011222022222=−+∂∂+∂∂+∂∂zzzzEnkErrErrEβϕ()022202=−+∇zztEnkEβ()()zjjmrFzrEzexpexp)(),,(βϕϕ−±=在圆对称光纤中，电磁场沿ϕ方向因满足自然边界条件，并具有驻波解：在柱坐标系下...,2,1,0=m()222202222222,01ankFrmadrdFrdrFdβδδ−==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++当δ20时，作代换x=δr/a，上述方程成为m阶Bessel方程的标准形式：0112222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++FxmdxdFxdxFd当δ20时，作代换x=δr/a，上述方程成为m阶虚综量Bessel方程的标准形式0112222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+FxmdxdFxdxFdBessel方程及其解BesselBessel方程及其解方程及其解¾m阶Bessel方程的两个线性独立解是m阶的Bessel函数Jm(x)和m阶的Neumann函数Nm(x)，方程的通解为：0112222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++FxmdxdFxdxFd()()xBNxAJxFmm+=)(¾m阶虚综量Bessel方程的两个线性独立解是m阶的虚综量Bessel函数Im(x)和m阶的虚综量Hankel数Km(x)，方程的通解为：0112222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+FxmdxdFxdxFd()()xDKxCIxFmm+=)(051015202530-0.500.51xJ0(x)J1(x)J2(x)BesselBessel函数的性质函数的性质kmkkmxkmkxJ202)!(!)1()(+∞=∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=J0(x)J2(x)J1(x)¾m阶Bessel函数¾渐进表示小综量近似（x→0）：162)(41)(2120xxxJxxJ−=−=mmxmxJ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2!1)(大综量近似（x→∞）：⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=42cos2)(πππmxxxJm051015202530-7-6-5-4-3-2-101xN0(x)N1(x)NeumannNeumann函数的性质函数的性质∑∑∞=+−+−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=mkkmkmmkmmxxkkmxJCxxN2210212!)!1(1)(2ln2)(Lπππ¾渐进表示小综量近似（x→0）：mmxmxNxxN⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==2)!1()(ln2)(0ππ大综量近似（x→∞）：⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=42sin2)(πππmxxxNmN0(x)N1(x)虚综量虚综量BesselBessel函数的性质函数的性质)()(jxJjxImmm−=00.511.522.5300.511.522.533.544.55xI0(x)I1(x)I2(x)I0(x)I2(x)I1(x)¾m阶虚综量Bessel函数¾渐进表示小综量近似（x→0）：41)(20xxI+=mmxmxI⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2!1)(大综量近似（x→∞）：xmexmxxI⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=814121)(2π00.511.522.53012345678910xK0(x)K1(x)虚综量虚综量HankelHankel函数的性质函数的性质ππmxIxIxKmmmsin)()(2)(−=−K0(x)K1(x)¾m阶虚综量Hankel函数¾渐进表示小综量近似（x→0）：⎟⎠⎞⎜⎝⎛=xxK1229.1ln)(0mmxmxK⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=22)!1()(大综量近似（x→∞）：xmexmxxK−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=81412)(2πBesselBessel函数的递推关系函数的递推关系()()()()()()()()()()()()()()()()()()xKdxxdKxJdxxdJxKxKxKxJxJxJxJxJxmxJxJxJmmmmmmmmmmmm1010111111212121−=−=+−=′−=′−=−=+−+−±−m阶跃光纤包层中的束缚态场（导模）阶跃光纤包层中的束缚态场（导模）光纤中的束缚态电磁场（导模）应当是空间局域化的，即光场应被限制在芯区附近，在包层内迅速衰减，因此，包层内的解应具有Km(x)的形式仅当βk0n2时，上述方程有解：)(,)(araWrDKaWrCIrFmm⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=包层内场的径向变化F(r)所满足的方程是：())(,,012222022222222arankWFrmaWdrdFrdrFd−==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+β当r→∞时，Im发散，因此光纤包层内的解为：：)(,)()(0araWrKWKErFmm⎟⎠⎞⎜⎝⎛=阶跃光纤芯区中的场阶跃光纤芯区中的场由于β≤k0n1时，上述方程的解为：)(,)(araUrBNaUrAJrFmm≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=芯区内场的径向变化F(r)所满足的方程是：())(,,012221202222222arankUFrmaUdrdFrdrFd≤−==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++β当r→0时，Nm发散，因此光纤芯区内的解为：：)(,)()(0araUrJUJErFmm≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛=)(,)()(,)()(00araWrKWKEaraUrJUJErFmmmm阶跃光纤中束缚态电磁场的纵向分量阶跃光纤中束缚态电磁场的纵向分量阶跃光纤中导模的电场纵向分量为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=)(,)()(,)()(arWKaWrKarUJaUrJrGmmmmm()()(),...2,1,0,exp,0=±=mjmrGErEmzϕϕ阶跃光纤中导模的磁场纵向分量与电场纵向分量满足完全相同的方程与边界条件，因此：()()(),...2,1,0,exp,0=±=mjmrGHrHmzϕϕEz为芯包界面上的切向分量，上式已经考虑了Ez在芯包界面上连续的边界条件阶跃光纤中导模的横向场分布阶跃光纤中导模的横向场分布⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−∂∂−−=rHErnkiEHrrEnkiEzzzzr0222002220ωμϕββϕωμββϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−∂∂−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂−−=rEHrnkiHErrHnkiHzzzzrωεϕββϕωεββϕ22202220()()()()ϕϕϕβωεωεββωμωμβjmmmmmrreUJaUrJrmUaJaUrJUHEnjEnHjEHjHEjUaHHEE⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛002100210000000022ar≤()()()()ϕϕϕβωεωεββωμωμβjmmmmmrreWaKaWrKrmWaKaWrKWHEnjEnHjEHjHEjWaHHEE⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛002200220000000022ar≥选择e－jmϕ给出另外一套与此正交的电磁波模式特征方程特征方程除Ez，Hz外，在芯包界面上电磁场的切向分量还有Eϕ，Hϕ。由Eϕ在r=a的界面上连续得到：()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡′+′−=WWKaWrKUUJaUrJVWUmjHEmmmm222000βωμ由Hϕ在r=a的界面上连续得到：()()()()WWKaWrKnUUJaUrJnWUVjmHEmmmm′+′−=2221222000ωεβ由此得到阶跃光纤中导模所必需满足的特征方程为：()()()()()()()()4202221⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡′+′⎥⎦⎤⎢⎣⎡′+′UWVkmWWKWKnUUJUJnWWKWKUUJUJmmmmmmmmβ模式分类：模式分类：TETE0n0n与与TMTM0n0n模模特征方程考虑m=0的情况，方程左侧两因子不可能同时为零，给出两种情况：(