4条件概率和全概率公式

第一章随机事件与概率1石家庄铁道大学第四节条件概率与全概率公式条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式第一章随机事件与概率2石家庄铁道大学()PBA一条件概率为(事件)A发生的条件下(事件)B的条件概率.Conditionalprobability引例某批产品共100件,其中40件是甲厂生产的（35件正品，5件次品），60件是乙厂生产的（45件正品，15件次品），任取一件，已知它是甲厂生产，问取出的是次品的概率。()()PABPA定义1.8设A,B为两个事件,且P(A)0,称=第一章随机事件与概率3石家庄铁道大学条件概率仍是概率！(1)非负性()0≥PBA()1Ω=PA(2)规范性(3)可列可加性设B1，B2，……为两两互斥的事件，则有11()()∞∞===∑iiiiPBAPBA121212()()()()PBBPBPBPBB=+−()1()PBPB=−AAAAAA第一章随机事件与概率4石家庄铁道大学条件概率的计算在缩减的样本空间中直接计算；例1掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中一颗为1点的概率.例210件产品中有4件次品，从中任取两件，已知其中一件是次品，求另一件也是次品的概率。AB在原样本空间中,利用公式计算.AB第一章随机事件与概率5石家庄铁道大学二乘法公式=P(B)P(A|B)(条件：P(A1A2…An−1)0)(条件：P(B)0)MultiplicationformulaP(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An−1)P(AB)=P(A)P(B|A)(条件：P(A)0)推广：P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB)(条件：P(AB)0)例3一批零件共100个，其中10个次品.从中一个一个取出（不放回），求第3次才取到正品的概率.第一章随机事件与概率7石家庄铁道大学例4第一个袋中有黑、白球各2只,第二个袋中有黑、白球各3只.先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,再从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白球的概率.由乘法公式求得记第次取到白球{},(1,2)iAi==i则11()2PA=12112()(|)()PAAPAAPA=142277=⋅=124(|)7PAA=第一章随机事件与概率8石家庄铁道大学三全概率公式Totalprobabilityformula引例甲袋中有5个红球、4个白球,乙袋中有7个红球、3个白球.先从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球.问从乙袋取出红球的概率.1.样本空间的划分：设为试验的样本空间，若事件满足：Ω12,,,⋅⋅⋅nAAA两两互斥，即12,,,⋅⋅⋅nAAA(,,1,2,,)Φ=≠=⋅⋅⋅ijAAijijn12⋅⋅⋅=ΩnAAA则称为样本空间的一个划分.12{,,,}⋅⋅⋅nAAAΩ记为：12nAAAΩ=++⋅⋅⋅+第一章随机事件与概率9石家庄铁道大学设A1,A2,···,An是样本空间Ω的一个划分，且()()(|)()(|)PBPAPBAPAPBA=+()1()(|)niiiPAPBAPB==∑P(Ai)0，特殊地：1,2,,in=2.全概率公式，则对任意事件B,有第一章随机事件与概率11石家庄铁道大学例1设仓库中有10箱同样规格的产品，已知这10箱中依次有5箱、3箱、2箱是甲厂、乙厂、丙厂生产的。又甲厂、乙厂、丙厂生产的该种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20,从这10箱产品中任取一箱，并从中任取一件产品，求取得正品的概率.？已知取到的产品是正品，求所取的那箱产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的概率各为多少？注：把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.第一章随机事件与概率12石家庄铁道大学第一章随机事件与概率13石家庄铁道大学1()(|)(|)()(|)iiiniiiPAPBAPABPAPBA==∑四贝叶斯公式Bayes’formula设A1,A2,···,An是样本空间Ω的一个划分，且P(Ai)0，1,2,,in=，则对任意事件B,只要P(B)0,有第一章随机事件与概率14石家庄铁道大学Bayes方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计、检验、判别、推理等方面假定为导致试验结果的21,,,⋅⋅⋅nAAA“原因”称先验概率()(1,2,,)=⋅⋅⋅iPAin为若试验产生事件,则要探讨事件发生的“原因”B(|)(1,2,,)=⋅⋅⋅iPABin称为后验概率(|)iPAB后验概率可以通过Bayes公式进行计算后验概率反映了试验后对各种“原因”发生的可能性大小的推断先验概率反映了各种“原因”发生的可能性大小（在试验前是知道的）Bayes公式的重要意义在于利用人们掌握的先验知识来推断后验概率第一章随机事件与概率15石家庄铁道大学由Bayes公式,此人真正患有癌症的概率为例2用某种诊断法诊断癌症,记判断被检验者患有癌症{}A=被检验者患有癌症{}C=(|)()(|)(|)()(|)()PACPCPCAPACPCPACPC=+已知(|)0.95,(|)0.90,==PACPAC，现在若有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可能性有多大？又设人群中()0.0004PC=0.950.00040.950.00040.10.9996×=×+×0.0038=可见，虽然检验法相当可靠，但被诊断患有癌症而真正患有癌症的可能性并不大第一章随机事件与概率16石家庄铁道大学练习：10个考签中有4个难签,今有3人按甲先、乙次、丙最后的次序参加抽签（不放回）.求甲、乙、丙分别抽到难签的概率.410();PA=解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙分别抽到难签.()()(|)()(|)PBPAPBAPAPBA=[phone]⋅⋅==+()()PCPABCABCABCABC=+++410()()()()PABCPABCPABCPABC=+++==第一章随机事件与概率17石家庄铁道大学作业：P21：14,15,16