初中数学 二次函数 难题(学生版)

2.已知二次函数1)1(2y2mxmx。（1）随着m的变化，该二次函数图像的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由。（2）如果直线1xy经过二次函数1)1(2y2mxmx图像的顶点P，请求出此时的M的值。3.已知抛物线1)2(y2xkx的顶点为M，与X轴交于A（a,0）,B(b,0)两点，且0)1)(1(222kbbkaak，（1）求k的值：（2）已知抛物线上是否存在点N，使得△ABN的面积为34？若存在，请求出N的坐标；若不存在，请说明理由。4.已知抛物线cbxaxy2与y轴交于点A（0,3），与x轴交于点B（1,0），C（5,0）两点（1）求此时抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自线段OA的中点M出发，先到达x轴的某点（设点为E），再到达抛物线的对称轴上某点（设点为F），最后运动到A，求使p点运动的路径最短的点E、F的最表，并求出这个最短路径的长。5.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未出售的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销商为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建材共需要支付厂家及其他费用100元。设每吨材料售价x元，该经销店的月利润为y元。（1）当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x之间的函数关系（不要求写出x的取值范围）；该经销店要获得最大利润，售价应该定位于每吨多少元？（3）小齐说：“当月利润最大时，月销售量也最大。”你认为对吗？请通过计算说明。6.（1）若抛物线22xaxy经过点（－1，0）.求a的值，并写出这个抛物线的顶点坐标；若点P（t,t）在抛物线上，则点P叫做抛物线上的不动点，求出这个抛物线上所有的不动点的坐标。（2）当a取a1时，抛物线22xaxy与x轴正半轴交于点M（m，0）；当a取a2时，抛物线22xaxy与x轴正半轴交于点N（n，0），若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小。8.已知：二次函数的图像过点A（1,0）和B（2,1），且与y轴交点的纵坐标为m。（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图像与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；（3）若二次函数的图像截直线1xy所得线段的长为22，确定m的值。9.已知二次函数)2)(2()42(2mmxmxy的图像与y轴的交点C在原点下方，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，点A、点B在原点到原点O的距离分别为OA、OB。（1）求证：OB－OA=2m+4；（2）确定实数m的取值范围；（3）若3（OB－OA）=2OA·OB，求此二次函数的解析式。10.在直角坐标系中，二次函数mnxx24321y2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边。若∠ACB=90°，1COBOAOCO。（1）求点C的坐标及这个二次函数的解析式；（2）试设计两种方案，做一条与y轴不重合，与△ABC的两边相交的直线，使得截得的三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一。求所得的三角形三个顶点的坐标。11.阅读材料如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”。我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21△,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1,4），交x轴于点A（3,0）交y轴于点B。（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA,PB,当P点运动到顶点C时，求△ABC的铅垂高CD及S△ABC；（3）是否存在一点P，使CABPABSS△△89，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。12.如图，已知抛物线5)2(21xayC：的顶点为P，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标为1.（1）求P点的坐标及a的值；（2）如图1，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P，M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图2，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点O旋转180°后得到抛物线C4。抛物线C4的顶点为N，与x轴相较于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标。14.已知二次函数22aaxxy。（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；（2）设a0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式；（3）若此二次函数的图像与x轴交于A、B两点，在函数图像上是否存在点P，使得△PAB的面积为2133，若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由。15.如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3,0）和点E（0,4）。动点C从点M（5,0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左做匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向做匀速运动。设运动时间为t秒。（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；（2）以点C为圆心、t21个单位长度为半径的⊙C与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）。连接PA、PB。①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；②当△PAB为等腰三角形时，求t的值。16.如图已知直线121xy交坐标轴A、B两点，以线段AB为边向上做正方形ABCD，过点A、D、C的抛物线与直线另一个交点为E（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止。设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积。17.已知抛物线axx2y2（a0）与y轴相交于点A，顶点为M，直线ax21y分别于x轴，y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N。（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与点N的坐标，则M（，），N（，）；（2）如图将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N'恰好落在抛物线上，AN'与x轴交于点D，连接CD,求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线axx2y2（a0）上是否存在一点P，使得P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由。18.如图，抛物线)0(y2babxx的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点A的坐标为（－2,0）；直线x=1与抛物线交于点E，与x轴交于点F，且45°≤∠FAE≤60°。（1）用b表示点E的坐标；（2）求实数b的取值范围；（3）请问△BCE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由。19.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=3。（1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标；（2）若过点D，E的抛物线与x轴相交于点F（-5,0），求抛物线的解析式和对称轴的方程；（3）若（2）中的抛物线与y轴相交于点H,在抛物线上是否存在点P，使△PFH得内心在坐标轴上？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若（2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，O、D两点到直线HQ的距离为最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式。20.在直角坐标系中，O为原点，抛物线3y2bxx与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，31tanABO，顶点为P。（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线向上或向下平移k个单位长度后经过点C（-5,6），试求k的值及平移后抛物线的最小值；（3）设平移后的抛物线与y轴相交于D，顶点为Q，点M是平移的抛物线上的一个动点，请探究：当点M在什么位置时，△MBD的面积是△MPQ的面积的2倍？求出此时点M的坐标。21.如图，抛物线452axaxy经过△ABC的三个顶点，已知BC//x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC。（1）写出A、B、C三点的坐标并求抛物线的解析式；（2）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件点P的坐标；若不存在，请说明理由。22.已知，抛物线经过A（-3,0），B（0,4），C（4,0）三点。（1）求抛物线的解析式；（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动，同时另一动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，是MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。23.已知抛物线cbxaxy2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）是方程016102xx的两个根，且抛物线的对称轴是直线2x。（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF//AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由。27.如图，二次函数2axy的图像与一次函数bxy的图像相交于A（-2,2），B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C、D两点，点P（t，0），Q（4，t+3）分别为线段CD和BD上的动点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R、S。（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标；（2）指出二次函数中，函数y随自变量x增大或减小的情况；（3）当SR=2RP时，求t的值；（4）当15BRQS△时，求t的值。28.如图，直线3xy与x轴，y轴分别交于点B，点C