第6章-最优控制

第6章线性二次型的最优控制《最优控制》线性二次型最优控制西华大学电气信息学院第6章线性二次型的最优控制什么是最优控制？寻找容许控制作用（规律），使动态系统（受控对象）从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函数）取最大（最小）值。第6章线性二次型的最优控制现代控制理论是研究系统状态的控制和观测的理论，主要包括5个方面：线性系统理论：研究线性系统的性质，能观性、能控性、稳定性等。系统辨识：根据输入、输出观测确定系统的数学模型。最优控制：寻找最优控制向量u(t)最佳滤波（卡尔曼滤波）：存在噪声情况下，如何根据输入、输出估计状态变量。适应控制：参数扰动情况下，控制器的设计1.最优控制理论的发展第6章线性二次型的最优控制先期工作：1948年，维纳(N.Wiener)发表《控制论》，引进了信息、反馈和控制等重要概念，奠定了控制论(Cybernetics)的基础。并提出了相对于某一性能指标进行最优设计的概念。1954年，钱学森编著《工程控制论》，作者系统地揭示了控制论对自动化、航空、航天、电子通信等科学技术的意义和重大影响。其中“最优开关曲线”等素材，直接促进了最优控制理论的形成和发展。最优控制的发展简史：第6章线性二次型的最优控制1953~1957年，贝尔曼(R.E.Bellman)创立“动态规划”原理。为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基本的递推关系式使过程连续地最优转移。“动态规划”对于研究最优控制理论的重要性，表现于可得出离散时间系统的理论结果和迭代算法。1956~1958年，庞特里亚金创立“最大值原理”。它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。对于“最大值原理”，由于放宽了有关条件的使得许多古典变分法和动态规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是解决最优控制问题的一种最普遍的有效的方法。同时，庞特里亚金在《最优过程的数学理论》著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作，还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩—图克定理)以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。理论形成阶段：第6章线性二次型的最优控制经典控制理论设计控制方法幅值裕量、相位裕量（频率指标）上升时间、调节时间、超调量（时域指标）特点：系统的控制结构是确定的，控制参数设计一般采用试凑方法，不是最优结果。第6章线性二次型的最优控制最优化(optimization)技术是研究和解决最优化问题的一门学科,它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。也就是说，最优化技术是研究和解决如下两个问题：（1）如何将最优化问题表示为数学模型（2）如何根据数学模型（尽快）求出其最优解最优控制(optimalcontrol)是控制理论中的优化技术。寻找在某种性能指标要求下最好的控制。第6章线性二次型的最优控制现有产品A、B,每种产品各有两道工序，分别由两台机器完成，其所需工时如下表所示，且每台机器每周最多只能工作40小时。若产品A的单价为200元，产品B的单价为500元，应如何安排生产计划，即A、B各应生产多少可使总产值最高。解：设该车间每周应生产产品A、B的件数分别为X1、X2,由于每台机器工作时间有限制，则有约束条件：在这些约束条件下选择X1、X2,使总产值达到最大。第一道工序第一道工序产品A1.5h2h产品B5h4h00)10(40424055.1212121XXXXXX)20(50020021XXJ例0-1生产计划安排问题第6章线性二次型的最优控制设有一盛放液体的连续搅拌槽。如下图所示。槽内装有不停地转动着的搅拌器J，使液体经常处于完全混合状态。槽中原放0℃的液体，现需将其温度经1小时后升高到40℃。为此在入口处送进一定量的液体，其温度为u(t)，出口处流出等量的液体，以便保持槽内液面恒定。试寻找u(t)的变化规律，使槽中液体温度经1小时后上升到40℃，并要求散失的热量最小。解：因假定槽中液体处于完全混合状态，故可用x(t)表示其温度。由热力学可知，槽中液体温度的变化率与温差[u(t)一x(t)]成正比，为简便计，令比例系数为1，于是有在1小时内散失掉的热量可用下式表示：其中g和r都是正的常数。因此在目前情况下，最优控制问题是：找u(t)的变化规律．使槽中液体经I小时后从0℃上升到40℃，并要求散失的热量最小，即方程(4）中J(u)取最小值。例0-2搅拌槽的温度控制)30()()()(txtudttdx)40()]()([)(2102dttrutqxuJ第6章线性二次型的最优控制静态最优化问题。最优化问题的解不随时间t的变化而变化，则称为静态最优化(参数最优化)问题。解决方法：线性规划和非线性规划法。动态最优化问题。如果最优化问题的解随时间t的变化而变化，即变量是时间t的函数，则称为动态最优化(最优控制)问题。解决方法：动态规划和最大值原理。其它分类：无约束与有约束确定性和随机性线性和非线性2.最优化问题的分类第6章线性二次型的最优控制3.最优化问题的解法1)间接法(又称解析法)对于目标函数及约束条件具有简单而明确的数学解析表达式的最优化问题，通常可采用间接法(解析法)来解决。其求解方法是先按照函数极值的必要条件，用数学分析方法(求导数方法或变分方法)求出其解析解，然后按照充分条件或问题的实际物理意义间接地确定最优解。间接法(解析法)无约束法有约束法经典微分法极大值法经典变分法库恩-图克法第6章线性二次型的最优控制2)直接法(数值解法)对于目标函数较为复杂或无明确的数学表达式或无法用解析法求解的最优化问题，通常可采用直接法(数值解法)来解决。直接法的基本思想，就是用直接搜索方法经过—系列的迭代以产生点的序列(简称点列)，使之逐步接近到最优点。直接法常常是根据经验或试验而得到的。直接法(数值解法)区间消去法(一维搜索)爬山法(多维搜索)菲波纳奇（Fibonacci）法黄金分割(0.618)法函数逼近法（插值法）变量加速法步长加速法方向加速法单纯形及随机搜索法第6章线性二次型的最优控制3)以解析法为基础的数值解法。解析与数值计算相结合的方法。4)网络最优化方法。以网络图作为数学模型，用图论方法进行投索的寻优方法。第6章线性二次型的最优控制4.最优控制问题最优控制问题的实质，就是求解给定条件下给定系统的控制规律，致使系统在规定的性能指标(目标函数)下具有最优值。控制装置受控对象要求状态初始状态控制作用性能最好限制条件第6章线性二次型的最优控制1.最优控制问题的性能指标(1)积分型性能指标(拉格朗日型)fttdtttutxLuJ0)50(]),(),([)((2)末值型性能指标（梅耶型）)60(]),([)(ffttxuJ(3)综合性能指标（鲍尔扎型）fttffdtttutxLttxuJ0)70(]),(),([]),([)(第6章线性二次型的最优控制2.最优控制问题的数学模型用以下4个方程来描述(1)给定系统的状态方程(3)给定性能指标fttffdtttutxLttxuJ0)100(]),(),([]),([)((2)状态方程的边界条件(4)允许控制域u(t))80(]),(),([)(ttutxftx)90()()(000Stxttxtxttff)110()(Utu确定一个最优控制u*(t)，使系统从初始状态x(t0)，转移到终端状态x(tf)，并使性能指标J(u)具有极大（极小）值。第6章线性二次型的最优控制第5章线性二次型的最优控制本章主要内容：6.1线性二次型问题6.2状态调节器6.3输出调节器6.4跟踪器线性二次型问题的特点（1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化（2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）)140()(21)(0fttTTdtRuuQxxuJ第6章线性二次型的最优控制6.1线性二次型问题线性二次性问题的提法：设线性时变系统的状态方程为)()()()15()()()()()(txtCtytutBtxtAtx假设控制向量不受约束，用表示期望输出，则误差向量为正定二次型半正定二次型实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值0（=0)。加权矩阵总可化为对称形式。)(tu)(*tu固定及正定对称时变加权矩阵—阵半正定对称时变加权矩—阵半正定对称常数加权矩—fttTTffTtttRtQFdttutRtutetQtetFeteuJf0)()()35()]()()()()()([21)()(21)(000AxxxT00AxxxT)25()()()(tytyter)(tyr求最优控制，使下列二次型性能指标最小。第6章线性二次型的最优控制性能指标的物理含义：加权矩阵的意义：（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量的重要性灵活选取。（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。例如：Q(t)可开始取值小，而后取值大)35()]()()()()()([21)()(21)(0fttTTffTdttutRtutetQtetFeteuJ大小的代价函数状态转移过程中衡量—)(0)()()(21tetetQteLTe大小的代价函数状态转移过程中衡量—)(0)()()(21tututRtuLTu点误差）终端代价函数（衡量终—0)()(21)(fTfftFetet坏。并不反映系统性能的好始前形成，很大，但误差在系统开时刻)(00tett第6章线性二次型的最优控制线性二次型问题的本质：用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。线性二次型问题的三种重要情形：)()()()15()()()()()(txtCtytutBtxtAtx)25()()()(tytyter状态调节器)()()(0)()()1tetxtytyItCr输出调节器)()(0)()2tetytyr跟踪问题)()()(0)()3tytytetyrr第6章线性二次型的最优控制6.2状态调节器问题设线性时变系统的状态方程为)15()()()()()(tutBtxtAtx假设控制向量不受约束，求最优控制，使系统的二次型性能指标取极小值。)(tu)(*tu)45()]()()()()()([21)()(21)(0fttTTffTdttutRtutxtQtxtFxtxuJ6.2.1有限时间状态调节器问题txtx终端时间初始条件,)(00有限时间问题终端时间,t无限时间问题终端时间,t物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。第6章线性二次型的最优控制解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式)55(2121TTTTTTTBuAxRuuQxxfLH因控制不受约束，故沿最优轨线有：)65()(01TTBRtuBRuuH（R(t)正定，保证其逆阵的存在。）规范方程组：)75(1TTAQxxHSAxBBRAxx写成矩阵形式：)85(xAQSAxT其解为：)95()()(),()()(000ttxttttx下面思路：确定与的关系，带入（5-6）形成状态反馈)(tx)(t第6章线性二次型的最优控制横截条件给出了终端时刻二者的关系：即)95()()(),()()(000ttxttttx)105()()()]()(21[)(ffffTftFxtxtFxtxt为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：)115()()()()(),()()(22211211