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4．2.3直线与圆的方程的应用学习目标预习导学典例精析栏目链接正确理解直线与圆的概念，能由直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例精析题型一直线与圆方程的实际应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例1某市气象台测得今年第三号台风中心在某市正东300km处，以40km/h的速度向西偏北30°方向移动，据测定，距台风中心250km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间(精确到分钟)．分析：注意到受台风影响的范围是一个圆，受台风影响的时间由风向所在直线与圆形区域相交所得弦长确定，故只要建立适当的坐标系，求出风向及圆形区域圆方程，然后利用弦长公式即可解决．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y＝－33(x－300)(x≤300)．该市受台风影响时，台风中心在圆x2＋y2＝2502内，设射线与圆交于C，D，则|CA|＝|AD|＝250，所以台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D点时，影响结束，作AH⊥CD于H，则|AH|＝|AB|·sin30°＝150，|HB|＝1503，|CH|＝|HD|＝|AC|2－|AH|2＝200，学习目标预习导学典例精析栏目链接∴|BC|＝1503－200，则该市受台风影响的起始时间t1＝1503－20040＝1.5(h)，即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2＝200＋20040＝10(h)，即台风对该市的影响持续时间为10小时．点评：(1)要建立适当的坐标系，建系决定了运算的繁简程度．因此，如何将实际问题转化为数学问题，如何建立适当的数学模型是解题的关键．(2)本题亦可直接求出弦长|CD|＝400，则t＝40040＝10(h)，即为台风对该市的持续影响时间．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练1．台风中心从A地的每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险地区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为(B)A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时解析：建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为20千米，故处于危险区内的时间为2020＝1(小时)．题型二学习目标预习导学典例精析栏目链接例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作一圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E，F，且EF与CD相交于H.求证：EF平分CD.证明：以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系．如图，设|AB|＝2r，D(a，0)，则|CD|＝r2－a2，∴C(a，r2－a2)，∴圆O：x2＋y2＝r2，圆C：(x－a)2＋(y－r2－a2)2＝r2－a2.学习目标预习导学典例精析栏目链接两方程作差得直线EF的方程为2ax＋2r2－a2y＝r2＋a2.令x＝a，得y＝12r2－a2，∴Ha，12r2－a2，即H为CD中点，∴EF平分CD.点评：利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系等有关性质．建立适当的平面直角坐标系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到几何问题中，对几何问题作出合理解释．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练2．如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，BC的延长线交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．题型三涉及圆的最大值的问题学习目标预习导学典例精析栏目链接例3(多解题)在直线2x＋y＋3＝0上求一点P，使P向圆x2＋y2－4x＝0所引得的切线长为最短．解析：解法一(代数法)圆化简为(x－2)2＋y2＝4，切线长最短，即点P到圆心的距离最短，设圆心为O，P(x0，y0)，则|PO|2＝(x0－2)2＋y20＝(x0－2)2＋(2x0＋3)2＝5x20＋8x0＋13，∴当x0＝－45时，|PO|2最小．此时切线最短，y0＝－75，∴P点的坐标为－45，－75.学习目标预习导学典例精析栏目链接解法二(几何法)由题意知过圆心作直线的垂线l，从垂足所引的圆的切线最短．垂线l所在直线的斜率为12，又过圆心(2，0)，∴垂线l的方程为y＝12(x－2)，即x－2y－2＝0.由2x＋y＋3＝0，x－2y－2＝0解得x＝－45，y＝－75.∴P－45，－75.点评：充分利用式子的几何意义，可以减少运算量．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练3．已知x，y是实数，且x2＋y2－4x－6y＋12＝0，求：(1)yx的最值；(2)x2＋y2的最值；(3)x＋y的最值；(4)x－y的最值．解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝1表示以点C(2，3)为圆心，1为半径的圆．(1)yx表示圆C上的点P(x，y)与坐标原点O(0，0)连线的斜率k.故当y＝kx为圆C的切线时，k可取得最值．∵|2k－3|1＋k2＝1，∴k＝2±233.学习目标预习导学典例精析栏目链接∴yx的最大值为2＋233，最小值为2－233.(2)设x2＋y2表示圆C上的点P(x，y)与坐标原点O(0，0)连接的线段长的平方，故由平面几何知识，知P为直线OC与圆C的两交点P1，P2时，OP21与OP22分别为OP2的最大值、最小值．∴x2＋y2的最大值为(22＋32＋1)2＝14＋213，最小值为(22＋32－1)2＝14－213.(3)令x＋y＝m，当直线l：x＋y＝m与圆C相切时，l在y轴上截距m取得最值．∵|2＋3－m|2＝1，∴m＝5±2，∴x＋y的最大值为5＋2，最小值为5－2.学习目标预习导学典例精析栏目链接(4)令x－y＝n，当直线l′：x－y＝n与圆C相切时，l′在y轴上截距的相反数n取得最值．∵|2－3－n|2＝1，∴n＝－1±2，∴x－y的最大值为－1＋2，最小值为－1－2.