【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版

1．平面向量基本定理第二节平面向量的基本定理及坐标表示如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.不共线有且只有λ1e1＋λ2e2(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．基底2．平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝，(x2－x1，y2－y1)|AB|＝.x2－x12＋y2－y123．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔____.x1y2－x2y1＝01．若a、b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.[试一试]1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝()A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)答案：A2．(2013·石家庄模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值是________．解析：∵u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v，∴8－4x＝3＋6x，∴x＝12.答案：12[练一练]设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用．由平面向量基本定理，得m－n＝1，2m＋n＝1，所以m＝23，n＝－13.答案：23－131.(2014·昆明一中摸底)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)解析：MN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则MN＝(x－5，y－(－6))＝(－3,6)，所以x－5＝－3，y＋6＝6，即x＝2，y＝0，选.A2．(2013·北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.解析：设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c.解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.[类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝13BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设BA＝a，BC＝b，试用a，b为基底表示向量EF，DF，CD.[解]EF＝EA＋AB＋BF＝－16b－a＋12b＝13b－a，DF＝DE＋EF＝－16b＋(13b－a)＝16b－a，CD＝CF＋FD＝－12b－(16b－a)＝a－23b.点评解答此类问题注意将向量放在恰当的三角形或多边形中，利用向量加减法的三角形或多边形法则.[类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC中，AN＝13NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋211AC，则实数m的值为________．解析：因为AP＝AB＋BPBP＝AB＋kBN＝AB＋k(AN－AB)＝AB＋k14AC－AB＝(1－k)AB＋k4AC，且AP＝mAB＋211AC，所以1－k＝m，k4＝211，解得k＝811，m＝311.答案：311[典例]平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．[解](1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以－m＋4n＝3，2m＋n＝2，得m＝59，n＝89.(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；两向量相等则其对应坐标相等！点评解：a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－1613.(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；注意区分两向量共线和垂直的坐标运算形式的不同之处！在本例条件下，若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.解：设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得4x－4－2y－1＝0，x－42＋y－12＝5，得x＝3，y＝－1或x＝5，y＝3.∴d＝(3，－1)或(5,3)．1．向量共线的两种表示形式[类题通法]2．两向量共线的充要条件的作用设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴AB∥AC.∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵AC＝2AB，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．∴a－1＝4，b－1＝－4，解得a＝5，b＝－3.∴点C的坐标为(5，－3)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若AC＝2AB，求点C的坐标．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．[课堂练通考点]1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE＝()A．b－12aB．b＋12aC．a＋12bD．a－12b解析：BE＝BA＋AD＋DE＝－a＋b＋12a＝b－12a.答案：A2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则mn等于()A．－2B．2C．－12D.12解析：由题意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n),a－2b＝(4，－1)，由于(ma＋nb)∥(a－2b)，可得－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，可得mn＝－12，故选.C3．(2013·大连沙河口模拟)非零不共线向量OA、OB，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)OA－λOB.又2OP＝xOA＋yOB，∴x＝2＋2λ，y＝－2λ，消去λ得x＋y＝2，故选.A4．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②AB＋BC＝CA；③OA＋OC＝OB；④AC＝OB－2OA.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：∵由题意得kOC＝1－2＝－12，kBA＝2－10－2＝－12，∴OC∥BA，①正确；∵AB＋BC＝AC，∴②错误；∵OA＋OC＝(0,2)＝OB，∴③正确；∵OB－2OA＝(－4,0)，AC＝(－4,0)，∴④正确．答案：C5．(2014·朝阳一模)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为()A.12B.13C.14D．1解析：∵M为边BC上任意一点，∴可设AM＝xAB＋yAC(x＋y＝1)．∵N为AM中点，∴AN＝12AM＝12xAB＋12yAC＝λAB＋μAC.∴λ＋μ＝12(x＋y)＝12.答案：A6．(2013·保定调研)已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135°，设OC＝－OA＋λOB(λ∈R)，则λ的值为________．解析：由∠AOC＝135°知，点C在射线y＝－x(x0)上，设点C的坐标为(a，－a)，a0，则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消掉a得λ＝12.答案：12