初中数学解题模型

《初中数学解题模型》初中数学通关口诀•代数抓精髓；代入是关键。代数一般式；两得全搞定。•算功过三关；解功四门槛。方程辨两类；函数识三型。•函数三姐妹；勾股三用途。系数不为零；指数要相吻。•非负三兄弟；蜕皮两魔鬼。统计要通关；两查走在前。•几何要通透；精髓是特殊。四图加一表；数据整理好。•重点特殊图；识图定性判。数据分析透；三差加三数。•两图谈感情；特殊关系联。概率也不难；频率能估算。•全等加相似；对称与旋转。列表和树型；搞清总和分。•平移与投影；位似也要算。鱼池鱼几多；应用记概型。•考点说举做；做题改变找。动点巧分类；最短牛喝水。•条件挖隐含；分类不漏点。找准临界点；相似巧破题。•思路技巧精；反思记模型。代数两特殊；首先特殊数。•应用均同宗；关系是根本。数数拉关系；方不与函数。•元量同回代；运算有六种。•关系大小等；再加倍比分。•每每有热点；负元巧应用。算功：有理数、无理数、代数式的三种计算功力。解功：指解一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、不等式（组）的四种功力。勾股三用途：指勾股定理的计算；列方程；证明垂直的三项功能。初中数学精髓1.几何：两个字概括——特殊：特殊图形；特殊关系（全等、相似）。2.代数：两个字概括——代入：字母的含义代入代数式、方程、不等式或者函数。3.几何三大方法：全等、相似、勾股定理。4.辅助线的认识①对内分割②对外补形5.压轴题大类：几何综合；代数综合；代几综合。戏说数学之——代数分式方程（可化为一元一次方程）死数（实数）活数（含有字母的数）代数式（定义）有理式无理式整式分式单项式多项式特殊数数与数之间的特殊关系相等关系：等式及方程不等关系：不等式（组）全部关系：函数与图象整式方程一元（一次；二次）二元（一次方程组）代数学什么？数以及数与数的关系！按照数的性质为代数式分类•代数式死数（实数）活数（含字母的数）永正数：非负数+正数非负数：平；绝；根永负数：－（非负数+正数）条件活数（川剧变脸）戏说数学之——几何基本图形（点、线、面、空）特殊图形（三、四、多、圆）特殊图形三角形性质（直角等腰）（平矩菱正）特殊图图与图之间的特殊关系全等关系相似关系变换关系定义四边形判定定义性质判定对称—兴致—平移—位似—投影—视图多边形与圆（正、圆）普通图形（丑）特殊图形（美）（整容）几何学什么：特殊的图形以及图形之间的特殊关系！学习几何要过四关•画图关：按照题意画图形。•语言关：文字语言（自然语言）、图形语言、符号语言这三种语言的转换和翻译。•推理关：证明，推理的能力和步骤。•模型关：掌握常用的几何模型。诀曰：等角套，套等角，顺藤摸瓜找相似。备注：等角套也叫共点等角、旋转等角。分为“内套和外套。OABCDOABCD如图：若∠AOB＝∠COD（等角套：内套；外套）则立得：∠AOC＝∠BOD（理由：）等角套等角：产生一对新的等角，“顺藤摸瓜”去确定这一对等角所在的两个可能相似（全等）的三角形，找到条件证之用之——拨开云雾见天日！1诀曰：歪八套，和歪A，形影不离似孪生。特殊的三对相似（和四点共圆结合理解更加妙趣横生）ABCDO若∠D＝∠C，这个图形为“歪8”，显然△AOD∽△BOC，添油加醋—ABCDO若∠D＝∠C，这个图形为“歪8”，显然△AOD∽△BOC，添油加醋—连接AB、DC，△AOB∽△DOC相似吗？为什么？八字倒角（共边等角，一等三等）：如图：如果∠BAC与∠BDC；∠DAC与∠DBC；∠ABD与∠ACD∠BDA与∠ACB四对共边等角中，有一对相等，则另外三对一定相等。思考：为什么叫“共边等角”？（学了圆，理解、记忆更容易）母题一ABCDEF1.如图：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BD、CE（手拉手），延长BD交CE于F，连接AF。求证：⑴△ABD≌△ACE⑵∠BFC=60°⑶AF平分∠DFE2.若把上题已知条件中的等边三角形改为等腰直角三角形，∠BAC和∠DAE为直角，请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。3.若把“1”题已知条件中的等边三角形改为顶角相等的两个等腰三角形，∠BAC和∠DAE顶角，请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。4.若把“1”中的条件改为：△ABC中，DE∥BC，把△ABC旋转到如图所示的位置。其他条件不变。请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。ABCDEFDE口诀：手拉手，是旋转，等边等腰和任三。母题二ABCEDFGM1.如图：点B、C、D在一条直线上，△ABC与△ECD都是等边三角形，其中的点及对应的字母如图所示。证明：⑴△BCE≌△ACD（BE=AD本质：等角套+旋转全等）⑵△CDF≌△CEG△CBG≌△CAF（旋转全等）⑶△CGF是等边三角形。⑷MC是∠GMF的平分线。（以点M为顶点的角有六个60°角，请你找出来并说明理由）。ABCDEMEG2.如图：把题“1”中的两个等边三角形绕C点反向旋转（左逆右顺），就形成了一对新的“双等边三角形”。已知：△ABC为任意三角形，AB＜AC，∠BAC＜120°，分别以AB、AC为边向三角形外侧作两个等边三角形：△ABD与△ACE。其中中的点及对应的字母如图所示。证明：⑴BE=DC⑵MA是∠GME的平分线。（以点M为顶点的角有六个60°角，请你找出来并说明理由）。⑶△AEG是等边三角形吗？为什么？AE=AE吗？说明理由。注意：2中的点M为△ABC的费马点：三角形中到三个顶点距离的和最小的点！且这个最小距离就是DC或BE（为什么？）双等边模型母题三双正方形模型ABCDEFGH1.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，G在CD上，BG的延长线交DE于H。求证：⑴BG=DE⑵BG⊥DE（内含：歪八套歪A+四点共圆，与圆结合：宝藏也）ABCDEFGH2.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，BG交DE于H。求证：⑴BG=DE⑵BG⊥DE（对照“1”，类比推理）母题四ABC1.如图，等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC上的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥EF，求证：⑴BE=AF⑵△EDF为等腰直角三角形⑶BE2+CF2=EF2⑷S△ABC=2S四边形AEDFEF2.在“1”中，若EF与AD相交于G，其他条件不变，求证：⑴ED2=EG·EA⑵GE·GF=GA·GDABCEFG母题五母题六2诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。简释：遇到共点等线段出现，可以考虑在共点等线组成的角内找一条过角的顶点的线段（所谓的鸡爪图），把该线段绕角的顶点旋转一个与α相同的角度，构造“等角套”，此时必然会产生一对全等三角形。利用全等的性质去解决问题，事半功倍。ABCDABDCE如图：若已知AB=AC，AD是过A点的一条线段——怎么做辅助线？作AE=AD，且∠EAD=∠BAC（或：把线段AD绕A点旋转一个与∠BAC相等的度数），可以达到柳暗花明又一村的奇效。鸡爪图母题七ABCD如图：等腰直角△BAC中，∠BAC=90°，D为BC边上任意一点。猜想：AD、BD、DC的数量关系并证明。母题八四边形+换个角度看等角套：共点等线旋转解题策略1.如图：正方形ABCD内有一点E，且EA=1，EB=2EC=3，求∠AEB的度数。ABCDE鸡爪—旋转（图中几个鸡爪？选择哪个？为什么？）口诀：辅助线，有原则，聚合补全方向明。2.如图：∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，求证：AB2+BC2=BD2ABCD如果AB=4，BC=3，求BD=？ABCD┓图解：图中直角=360-（360-30-60）=90母题九ABCE如图：等边三角形ABC中，EA=3，EB=4，EC=5求∠AEB的度数。母题十“邻补四边形模型”口诀：对角补，邻边等，知二推一角平分。ABCD邻补四边形：对角互补，邻边相等的四边形！如图：四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，且AB=AC，求证：⑴BD平分∠ADC=90⑵DA+DC=BD⑶S四边形ABCD=1/2BD2特别提示：类似题目可以用“旋转大法”和“截长补短”法以及“角平分线双垂直模型”解决，建议对比提升解题能力。2母题十一ABCD1.如图：四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=120°且AB=AC，求证：⑴BD平分∠ADC⑵DA+DC=BD⑶S四边形ABCD=BD2特别提示：和“母题九”类比，条件和结论分别佛发生了什么变化？342.如图：四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°且AB=AC，求证：BD平分∠ADC问:“1”中的其它结论还成立吗？为什么？小结，拓展：上面是所谓的共点等线构成的“鸡爪图”，旋转后构成一对全等的三角形。如果是任意的“鸡爪图”呢？可以如法炮制吗？ABCDABDCE如图：若已知AB≠AC，假定AB：AC=m，AD是过A点的一条线段——怎么做辅助线？作AD：AC=m，且∠DAE=∠BAC（或：把线段AC绕A点旋转一个与∠BAC相等的度数，并使AD：AE=m），会发生什么？有全等吗？显然不是！找一找：是不是出现了相似——神气的一转成双！鸡爪图母题十二方法3旋转+截长补短：破解半角模型——诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。线段和，要得证，截长补短是正本。正方形，等直三，内含半角转一转。母题十三1.如图：正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，⑴证明：EF=BE+DF⑵证明△ECF的周长等于正方形ABCD周长的一半。⑶过A作AH⊥EF于H，证明：AH=BC备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：在“1”的条件下，连接BD交AE于G，AF于M，连接EM、GF。GF与EM相交于O点。⑴证明：BG2+MD2=GM2⑵证明：△AGF与△AME是等腰直角三角形⑶证明：AE平分∠BEF；AF平分∠DFE⑷证明：△EAB∽△EFG；△ADF∽△EMF⑸图中有至少六个圆内接四边形，太多的相似三角形可以自己去找。GMO更多结论参考下页——正方形内含半角母题十四邻补四边形内含半角（邻边相等，对角互补的四边形）ABCDEFABCDEFABCEF1.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点，∠ABC=∠ADC=90°且∠EBF=45°，⑴猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点，∠ABC+∠ADC=180°且∠EBF=1/2∠ABC°，⑴猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，E、F都是AC上的点，且∠EBF=45°，⑴猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。此题其实就是母题十二“2”中的第一问！自造半角模型解体策略：三角形作高翻折！4将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直。口诀：和与差，求最值，将军饮马七模型！··ABP两村一路（异侧）和最小两村一路（同侧）和最小一村两路和最小两村两路和最小两村一路（线段）和最小两村一路（同侧）差最大两村一路（异侧）差最大母题十五AB函数中的将军饮马（四大模型）★如图：平面直角坐标系中有A、B两点A（1，3）；B（4，2）。⑴若x轴上有一动点P，当PA+PB最短时，求P点的坐标及PA+PB的最小值。⑵若x轴上有一动点P，y轴上有一动点Q，当△APQ的周长最短时，求出P、Q两点的坐标，并求出此时△APQ的周长的最小值。⑶若x轴上有一动点P，y轴上有一动点Q，当四边形AQPB的周长最短时，求出P、Q两点的坐标。⑷若x轴上有一线段EF，且EF=1，当四边形AEFB的周长最短时，求出E、F两点的坐标。ABOO备用图母题十六“变态的将军饮马”——造桥选址问题母题十七两村一路母题十八ABCDMN两村一路母题十九两村一路母题二十“变态的”两村一路：固定变量法—答案：先设E点不变，画出P点后在确定E的位